Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123710 / 25367
↖ ↑ ↗
← N 73.410397°
E159.779663°		 ← 87.20 m → N 73.410397°
E159.782410°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.409612°
E159.779663°		 ← 87.21 m →
7 606 m²		 N 73.409612°
E159.782410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943836212158203 y=0.193538665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943836212158203 × 217)
    floor (0.943836212158203 × 131072)
    floor (123710.5)     		tx = 123710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193538665771484 × 217)
    floor (0.193538665771484 × 131072)
    floor (25367.5)     		ty = 25367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123710 / 25367 ti = "17/123710/25367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123710/25367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123710 ÷ 217
    123710 ÷ 131072     		x = 0.943832397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25367 ÷ 217
    25367 ÷ 131072     		y = 0.193534851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943832397460938 × 2 - 1) × π
    0.887664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78868120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193534851074219 × 2 - 1) × π
    0.612930297851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92557732083804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78868120} λ = 2.78868120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92557732083804))-π/2
    2×atan(6.85910742870001)-π/2
    2×1.42602472826208-π/2
    2.85204945652417-1.57079632675     		φ = 1.28125313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78868120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.779663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28125313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.410397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123710 KachelY 25367 2.78868120 1.28125313 159.779663 73.410397
    Oben rechts KachelX + 1 123711 KachelY 25367 2.78872914 1.28125313 159.782410 73.410397
    Unten links KachelX 123710 KachelY + 1 25368 2.78868120 1.28123944 159.779663 73.409612
    Unten rechts KachelX + 1 123711 KachelY + 1 25368 2.78872914 1.28123944 159.782410 73.409612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28125313-1.28123944) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28125313-1.28123944) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78868120-2.78872914) × cos(1.28125313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285514466411748 × 6371000     		do = 87.2034671844561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78868120-2.78872914) × cos(1.28123944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285527586530521 × 6371000     		du = 87.2074744064412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28125313)-sin(1.28123944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285514466411748-0.285527586530521)×R²
    abs(2.78872914-2.78868120)×1.3120118772747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3120118772747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3120118772747e-05×40589641000000     		ar = 7605.97308547171m²