Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12371 / 20127
↖ ↑ ↗
← S 37.987505°
W 44.088135°		 ← 962.78 m → S 37.987505°
W 44.077149°		 →
↑
962.72 m
↓
↑
962.72 m
↓
S 37.996163°
W 44.088135°		 ← 962.67 m →
926 833 m²		 S 37.996163°
W 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377548217773438 y=0.614242553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377548217773438 × 215)
    floor (0.377548217773438 × 32768)
    floor (12371.5)     		tx = 12371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614242553710938 × 215)
    floor (0.614242553710938 × 32768)
    floor (20127.5)     		ty = 20127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12371 / 20127 ti = "15/12371/20127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12371/20127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12371 ÷ 215
    12371 ÷ 32768     		x = 0.377532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20127 ÷ 215
    20127 ÷ 32768     		y = 0.614227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.22845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.717711261111481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76948311} λ = -0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717711261111481))-π/2
    2×atan(0.487867580633869)-π/2
    2×0.453894650460132-π/2
    0.907789300920264-1.57079632675     		φ = -0.66300703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66300703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.987505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12371 KachelY 20127 -0.76948311 -0.66300703 -44.088135 -37.987505
    Oben rechts KachelX + 1 12372 KachelY 20127 -0.76929137 -0.66300703 -44.077149 -37.987505
    Unten links KachelX 12371 KachelY + 1 20128 -0.76948311 -0.66315814 -44.088135 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 12372 KachelY + 1 20128 -0.76929137 -0.66315814 -44.077149 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66300703--0.66315814) × R
    0.000151109999999899 × 6371000     		dl = 962.721809999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66300703--0.66315814) × R
    0.000151109999999899 × 6371000     		dr = 962.721809999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76948311--0.76929137) × cos(-0.66300703) × R
    0.000191739999999996 × 0.788145001865634 × 6371000     		do = 962.778656252292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76948311--0.76929137) × cos(-0.66315814) × R
    0.000191739999999996 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 962.665030630832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66300703)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788145001865634-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.76929137--0.76948311)×9.30156324669973e-05×R²
    0.000191739999999996×9.30156324669973e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.30156324669973e-05×40589641000000     		ar = 926833.317407764m²