Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123709 / 25365
↖ ↑ ↗
← N 73.411965°
E159.776916°		 ← 87.20 m → N 73.411965°
E159.779663°		 →
↑
87.16 m
↓
↑
87.16 m
↓
N 73.411181°
E159.776916°		 ← 87.20 m →
7 600 m²		 N 73.411181°
E159.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943828582763672 y=0.193523406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943828582763672 × 217)
    floor (0.943828582763672 × 131072)
    floor (123709.5)     		tx = 123709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193523406982422 × 217)
    floor (0.193523406982422 × 131072)
    floor (25365.5)     		ty = 25365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123709 / 25365 ti = "17/123709/25365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123709/25365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123709 ÷ 217
    123709 ÷ 131072     		x = 0.943824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25365 ÷ 217
    25365 ÷ 131072     		y = 0.193519592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943824768066406 × 2 - 1) × π
    0.887649536132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.78863326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193519592285156 × 2 - 1) × π
    0.612960815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.92567319463728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78863326} λ = 2.78863326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92567319463728))-π/2
    2×atan(6.85976506891332)-π/2
    2×1.42603841431164-π/2
    2.85207682862329-1.57079632675     		φ = 1.28128050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78863326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.776916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28128050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.411965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123709 KachelY 25365 2.78863326 1.28128050 159.776916 73.411965
    Oben rechts KachelX + 1 123710 KachelY 25365 2.78868120 1.28128050 159.779663 73.411965
    Unten links KachelX 123709 KachelY + 1 25366 2.78863326 1.28126682 159.776916 73.411181
    Unten rechts KachelX + 1 123710 KachelY + 1 25366 2.78868120 1.28126682 159.779663 73.411181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28128050-1.28126682) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dl = 87.1552800008086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28128050-1.28126682) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dr = 87.1552800008086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78863326-2.78868120) × cos(1.28128050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285488235597497 × 6371000     		do = 87.1954556186028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78863326-2.78868120) × cos(1.28126682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285501346239465 × 6371000     		du = 87.1994599461278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28128050)-sin(1.28126682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285488235597497-0.285501346239465)×R²
    abs(2.78868120-2.78863326)×1.31106419682392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31106419682392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31106419682392e-05×40589641000000     		ar = 7599.71884849397m²