Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123708 / 25347
↖ ↑ ↗
← N 73.426074°
E159.774170°		 ← 87.12 m → N 73.426074°
E159.776916°		 →
↑
87.16 m
↓
↑
87.16 m
↓
N 73.425290°
E159.774170°		 ← 87.13 m →
7 593 m²		 N 73.425290°
E159.776916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943820953369141 y=0.193386077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943820953369141 × 217)
    floor (0.943820953369141 × 131072)
    floor (123708.5)     		tx = 123708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193386077880859 × 217)
    floor (0.193386077880859 × 131072)
    floor (25347.5)     		ty = 25347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123708 / 25347 ti = "17/123708/25347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123708/25347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123708 ÷ 217
    123708 ÷ 131072     		x = 0.943817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25347 ÷ 217
    25347 ÷ 131072     		y = 0.193382263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943817138671875 × 2 - 1) × π
    0.88763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78858532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193382263183594 × 2 - 1) × π
    0.613235473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.92653605883044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78858532} λ = 2.78858532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92653605883044))-π/2
    2×atan(6.86568666896571)-π/2
    2×1.42616153218427-π/2
    2.85232306436854-1.57079632675     		φ = 1.28152674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78858532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28152674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.426074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123708 KachelY 25347 2.78858532 1.28152674 159.774170 73.426074
    Oben rechts KachelX + 1 123709 KachelY 25347 2.78863326 1.28152674 159.776916 73.426074
    Unten links KachelX 123708 KachelY + 1 25348 2.78858532 1.28151306 159.774170 73.425290
    Unten rechts KachelX + 1 123709 KachelY + 1 25348 2.78863326 1.28151306 159.776916 73.425290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28152674-1.28151306) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dl = 87.1552800008086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28152674-1.28151306) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dr = 87.1552800008086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78858532-2.78863326) × cos(1.28152674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28525223490844 × 6371000     		do = 87.123374933507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78858532-2.78863326) × cos(1.28151306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285265346511718 × 6371000     		du = 87.1273795546407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28152674)-sin(1.28151306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28525223490844-0.285265346511718)×R²
    abs(2.78863326-2.78858532)×1.31116032779932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31116032779932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31116032779932e-05×40589641000000     		ar = 7593.4366490677m²