Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123707 / 25366
↖ ↑ ↗
← N 73.411181°
E159.771423°		 ← 87.18 m → N 73.411181°
E159.774170°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.410397°
E159.771423°		 ← 87.19 m →
7 604 m²		 N 73.410397°
E159.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943813323974609 y=0.193531036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943813323974609 × 217)
    floor (0.943813323974609 × 131072)
    floor (123707.5)     		tx = 123707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193531036376953 × 217)
    floor (0.193531036376953 × 131072)
    floor (25366.5)     		ty = 25366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123707 / 25366 ti = "17/123707/25366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123707/25366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123707 ÷ 217
    123707 ÷ 131072     		x = 0.943809509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25366 ÷ 217
    25366 ÷ 131072     		y = 0.193527221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943809509277344 × 2 - 1) × π
    0.887619018554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.78853739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193527221679688 × 2 - 1) × π
    0.612945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92562525773766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78853739} λ = 2.78853739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92562525773766))-π/2
    2×atan(6.85943624092536)-π/2
    2×1.42603157144405-π/2
    2.85206314288811-1.57079632675     		φ = 1.28126682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78853739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.771423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28126682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.411181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123707 KachelY 25366 2.78853739 1.28126682 159.771423 73.411181
    Oben rechts KachelX + 1 123708 KachelY 25366 2.78858532 1.28126682 159.774170 73.411181
    Unten links KachelX 123707 KachelY + 1 25367 2.78853739 1.28125313 159.771423 73.410397
    Unten rechts KachelX + 1 123708 KachelY + 1 25367 2.78858532 1.28125313 159.774170 73.410397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28126682-1.28125313) × R
    1.36899999998441e-05 × 6371000     		dl = 87.2189899990068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28126682-1.28125313) × R
    1.36899999998441e-05 × 6371000     		dr = 87.2189899990068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78853739-2.78858532) × cos(1.28126682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285501346239465 × 6371000     		do = 87.1812706554694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78853739-2.78858532) × cos(1.28125313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285514466411748 × 6371000     		du = 87.1852770579116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28126682)-sin(1.28125313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285501346239465-0.285514466411748)×R²
    abs(2.78858532-2.78853739)×1.31201722825547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31201722825547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31201722825547e-05×40589641000000     		ar = 7604.03709072429m²