Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123706 / 25322
↖ ↑ ↗
← N 73.445649°
E159.768677°		 ← 87.02 m → N 73.445649°
E159.771423°		 →
↑
86.96 m
↓
↑
86.96 m
↓
N 73.444867°
E159.768677°		 ← 87.03 m →
7 568 m²		 N 73.444867°
E159.771423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943805694580078 y=0.193195343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943805694580078 × 217)
    floor (0.943805694580078 × 131072)
    floor (123706.5)     		tx = 123706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193195343017578 × 217)
    floor (0.193195343017578 × 131072)
    floor (25322.5)     		ty = 25322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123706 / 25322 ti = "17/123706/25322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123706/25322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123706 ÷ 217
    123706 ÷ 131072     		x = 0.943801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25322 ÷ 217
    25322 ÷ 131072     		y = 0.193191528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943801879882812 × 2 - 1) × π
    0.887603759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78848945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193191528320312 × 2 - 1) × π
    0.613616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92773448132094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78848945} λ = 2.78848945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92773448132094))-π/2
    2×atan(6.87391959455877)-π/2
    2×1.42633236040115-π/2
    2.8526647208023-1.57079632675     		φ = 1.28186839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78848945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.768677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28186839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.445649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123706 KachelY 25322 2.78848945 1.28186839 159.768677 73.445649
    Oben rechts KachelX + 1 123707 KachelY 25322 2.78853739 1.28186839 159.771423 73.445649
    Unten links KachelX 123706 KachelY + 1 25323 2.78848945 1.28185474 159.768677 73.444867
    Unten rechts KachelX + 1 123707 KachelY + 1 25323 2.78853739 1.28185474 159.771423 73.444867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28186839-1.28185474) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dl = 86.9641500005556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28186839-1.28185474) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dr = 86.9641500005556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78848945-2.78853739) × cos(1.28186839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284924762975944 × 6371000     		do = 87.0233565761953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78848945-2.78853739) × cos(1.28185474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284937847155312 × 6371000     		du = 87.0273528213609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28186839)-sin(1.28185474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284924762975944-0.284937847155312)×R²
    abs(2.78853739-2.78848945)×1.30841793675174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30841793675174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30841793675174e-05×40589641000000     		ar = 7568.08599995105m²