Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123702 / 25323
↖ ↑ ↗
← N 73.444867°
E159.757690°		 ← 87.03 m → N 73.444867°
E159.760437°		 →
↑
87.03 m
↓
↑
87.03 m
↓
N 73.444084°
E159.757690°		 ← 87.03 m →
7 574 m²		 N 73.444084°
E159.760437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943775177001953 y=0.193202972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943775177001953 × 217)
    floor (0.943775177001953 × 131072)
    floor (123702.5)     		tx = 123702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193202972412109 × 217)
    floor (0.193202972412109 × 131072)
    floor (25323.5)     		ty = 25323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123702 / 25323 ti = "17/123702/25323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123702/25323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123702 ÷ 217
    123702 ÷ 131072     		x = 0.943771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25323 ÷ 217
    25323 ÷ 131072     		y = 0.193199157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943771362304688 × 2 - 1) × π
    0.887542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78829770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193199157714844 × 2 - 1) × π
    0.613601684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.92768654442132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78829770} λ = 2.78829770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92768654442132))-π/2
    2×atan(6.873590088063)-π/2
    2×1.42632553103946-π/2
    2.85265106207892-1.57079632675     		φ = 1.28185474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78829770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28185474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.444867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123702 KachelY 25323 2.78829770 1.28185474 159.757690 73.444867
    Oben rechts KachelX + 1 123703 KachelY 25323 2.78834564 1.28185474 159.760437 73.444867
    Unten links KachelX 123702 KachelY + 1 25324 2.78829770 1.28184108 159.757690 73.444084
    Unten rechts KachelX + 1 123703 KachelY + 1 25324 2.78834564 1.28184108 159.760437 73.444084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28185474-1.28184108) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dl = 87.0278600001684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28185474-1.28184108) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dr = 87.0278600001684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78829770-2.78834564) × cos(1.28185474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284937847155312 × 6371000     		do = 87.0273528213609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78829770-2.78834564) × cos(1.28184108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28495094086701 × 6371000     		du = 87.0313519779457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28185474)-sin(1.28184108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284937847155312-0.28495094086701)×R²
    abs(2.78834564-2.78829770)×1.30937116981644e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30937116981644e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30937116981644e-05×40589641000000     		ar = 7573.97829675018m²