Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123701 / 25324
↖ ↑ ↗
← N 73.444084°
E159.754944°		 ← 87.01 m → N 73.444084°
E159.757690°		 →
↑
87.03 m
↓
↑
87.03 m
↓
N 73.443301°
E159.754944°		 ← 87.02 m →
7 573 m²		 N 73.443301°
E159.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943767547607422 y=0.193210601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943767547607422 × 217)
    floor (0.943767547607422 × 131072)
    floor (123701.5)     		tx = 123701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193210601806641 × 217)
    floor (0.193210601806641 × 131072)
    floor (25324.5)     		ty = 25324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123701 / 25324 ti = "17/123701/25324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123701/25324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123701 ÷ 217
    123701 ÷ 131072     		x = 0.943763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25324 ÷ 217
    25324 ÷ 131072     		y = 0.193206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943763732910156 × 2 - 1) × π
    0.887527465820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.78824977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193206787109375 × 2 - 1) × π
    0.61358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9276386075217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78824977} λ = 2.78824977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9276386075217))-π/2
    2×atan(6.87326059736236)-π/2
    2×1.42631870136395-π/2
    2.8526374027279-1.57079632675     		φ = 1.28184108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78824977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.754944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28184108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.444084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123701 KachelY 25324 2.78824977 1.28184108 159.754944 73.444084
    Oben rechts KachelX + 1 123702 KachelY 25324 2.78829770 1.28184108 159.757690 73.444084
    Unten links KachelX 123701 KachelY + 1 25325 2.78824977 1.28182742 159.754944 73.443301
    Unten rechts KachelX + 1 123702 KachelY + 1 25325 2.78829770 1.28182742 159.757690 73.443301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28184108-1.28182742) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dl = 87.0278600001684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28184108-1.28182742) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dr = 87.0278600001684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78824977-2.78829770) × cos(1.28184108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28495094086701 × 6371000     		do = 87.0131977536134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78824977-2.78829770) × cos(1.28182742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.284964034525537 × 6371000     		du = 87.0171960597615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28184108)-sin(1.28182742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28495094086701-0.284964034525537)×R²
    abs(2.78829770-2.78824977)×1.30936585275854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30936585275854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30936585275854e-05×40589641000000     		ar = 7572.74637442428m²