Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123700 / 24876
↖ ↑ ↗
← N 73.791120°
E159.752197°		 ← 85.26 m → N 73.791120°
E159.754944°		 →
↑
85.24 m
↓
↑
85.24 m
↓
N 73.790354°
E159.752197°		 ← 85.26 m →
7 268 m²		 N 73.790354°
E159.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943759918212891 y=0.189792633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943759918212891 × 217)
    floor (0.943759918212891 × 131072)
    floor (123700.5)     		tx = 123700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189792633056641 × 217)
    floor (0.189792633056641 × 131072)
    floor (24876.5)     		ty = 24876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123700 / 24876 ti = "17/123700/24876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123700/24876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123700 ÷ 217
    123700 ÷ 131072     		x = 0.943756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24876 ÷ 217
    24876 ÷ 131072     		y = 0.189788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943756103515625 × 2 - 1) × π
    0.88751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78820183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189788818359375 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94911433855148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78820183} λ = 2.78820183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94911433855148))-π/2
    2×atan(7.02246529878978)-π/2
    2×1.42934716943612-π/2
    2.85869433887224-1.57079632675     		φ = 1.28789801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78820183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.752197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28789801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.791120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123700 KachelY 24876 2.78820183 1.28789801 159.752197 73.791120
    Oben rechts KachelX + 1 123701 KachelY 24876 2.78824977 1.28789801 159.754944 73.791120
    Unten links KachelX 123700 KachelY + 1 24877 2.78820183 1.28788463 159.752197 73.790354
    Unten rechts KachelX + 1 123701 KachelY + 1 24877 2.78824977 1.28788463 159.754944 73.790354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28789801-1.28788463) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dl = 85.2439799996927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28789801-1.28788463) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dr = 85.2439799996927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78820183-2.78824977) × cos(1.28789801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279139927055959 × 6371000     		do = 85.2565187845563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78820183-2.78824977) × cos(1.28788463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279152775181814 × 6371000     		du = 85.2604429329034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28789801)-sin(1.28788463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279139927055959-0.279152775181814)×R²
    abs(2.78824977-2.78820183)×1.28481258557245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28481258557245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28481258557245e-05×40589641000000     		ar = 7267.77223713217m²