Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123699 / 25326
↖ ↑ ↗
← N 73.442519°
E159.749451°		 ← 87.04 m → N 73.442519°
E159.752197°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.441735°
E159.749451°		 ← 87.04 m →
7 581 m²		 N 73.441735°
E159.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943752288818359 y=0.193225860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943752288818359 × 217)
    floor (0.943752288818359 × 131072)
    floor (123699.5)     		tx = 123699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193225860595703 × 217)
    floor (0.193225860595703 × 131072)
    floor (25326.5)     		ty = 25326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123699 / 25326 ti = "17/123699/25326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123699/25326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123699 ÷ 217
    123699 ÷ 131072     		x = 0.943748474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25326 ÷ 217
    25326 ÷ 131072     		y = 0.193222045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943748474121094 × 2 - 1) × π
    0.887496948242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.78815389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193222045898438 × 2 - 1) × π
    0.613555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92754273372246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78815389} λ = 2.78815389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92754273372246))-π/2
    2×atan(6.87260166334348)-π/2
    2×1.42630504107144-π/2
    2.85261008214289-1.57079632675     		φ = 1.28181376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78815389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.749451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28181376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.442519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123699 KachelY 25326 2.78815389 1.28181376 159.749451 73.442519
    Oben rechts KachelX + 1 123700 KachelY 25326 2.78820183 1.28181376 159.752197 73.442519
    Unten links KachelX 123699 KachelY + 1 25327 2.78815389 1.28180009 159.749451 73.441735
    Unten rechts KachelX + 1 123700 KachelY + 1 25327 2.78820183 1.28180009 159.752197 73.441735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28181376-1.28180009) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28181376-1.28180009) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78815389-2.78820183) × cos(1.28181376) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.284977128130892 × 6371000     		do = 87.0393502432017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78815389-2.78820183) × cos(1.28180009) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.284990231268375 × 6371000     		du = 87.0433522786639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28181376)-sin(1.28180009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284977128130892-0.284990231268375)×R²
    abs(2.78820183-2.78815389)×1.31031374832613e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.31031374832613e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.31031374832613e-05×40589641000000     		ar = 7580.56793649296m²