Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123695 / 24859
↖ ↑ ↗
← N 73.804149°
E159.738465°		 ← 85.17 m → N 73.804149°
E159.741211°		 →
↑
85.18 m
↓
↑
85.18 m
↓
N 73.803383°
E159.738465°		 ← 85.18 m →
7 255 m²		 N 73.803383°
E159.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943721771240234 y=0.189662933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943721771240234 × 217)
    floor (0.943721771240234 × 131072)
    floor (123695.5)     		tx = 123695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189662933349609 × 217)
    floor (0.189662933349609 × 131072)
    floor (24859.5)     		ty = 24859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123695 / 24859 ti = "17/123695/24859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123695/24859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123695 ÷ 217
    123695 ÷ 131072     		x = 0.943717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24859 ÷ 217
    24859 ÷ 131072     		y = 0.189659118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943717956542969 × 2 - 1) × π
    0.887435913085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.78796215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189659118652344 × 2 - 1) × π
    0.620681762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.94992926584502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78796215} λ = 2.78796215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94992926584502))-π/2
    2×atan(7.02819042989567)-π/2
    2×1.42946086431609-π/2
    2.85892172863218-1.57079632675     		φ = 1.28812540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78796215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.738465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28812540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.804149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123695 KachelY 24859 2.78796215 1.28812540 159.738465 73.804149
    Oben rechts KachelX + 1 123696 KachelY 24859 2.78801008 1.28812540 159.741211 73.804149
    Unten links KachelX 123695 KachelY + 1 24860 2.78796215 1.28811203 159.738465 73.803383
    Unten rechts KachelX + 1 123696 KachelY + 1 24860 2.78801008 1.28811203 159.741211 73.803383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28812540-1.28811203) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dl = 85.1802700000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28812540-1.28811203) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dr = 85.1802700000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78796215-2.78801008) × cos(1.28812540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.278921568494412 × 6371000     		do = 85.1720563662898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78796215-2.78801008) × cos(1.28811203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.278934407866131 × 6371000     		du = 85.1759770229018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28812540)-sin(1.28811203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278921568494412-0.278934407866131)×R²
    abs(2.78801008-2.78796215)×1.28393717188091e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.28393717188091e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.28393717188091e-05×40589641000000     		ar = 7255.14573917786m²