Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123694 / 24858
↖ ↑ ↗
← N 73.804915°
E159.735718°		 ← 85.19 m → N 73.804915°
E159.738465°		 →
↑
85.18 m
↓
↑
85.18 m
↓
N 73.804149°
E159.735718°		 ← 85.19 m →
7 256 m²		 N 73.804149°
E159.738465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943714141845703 y=0.189655303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943714141845703 × 217)
    floor (0.943714141845703 × 131072)
    floor (123694.5)     		tx = 123694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189655303955078 × 217)
    floor (0.189655303955078 × 131072)
    floor (24858.5)     		ty = 24858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123694 / 24858 ti = "17/123694/24858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123694/24858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123694 ÷ 217
    123694 ÷ 131072     		x = 0.943710327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24858 ÷ 217
    24858 ÷ 131072     		y = 0.189651489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943710327148438 × 2 - 1) × π
    0.887420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78791421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189651489257812 × 2 - 1) × π
    0.620697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94997720274464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78791421} λ = 2.78791421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94997720274464))-π/2
    2×atan(7.02852734763015)-π/2
    2×1.42946754947979-π/2
    2.85893509895958-1.57079632675     		φ = 1.28813877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78791421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.735718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28813877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.804915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123694 KachelY 24858 2.78791421 1.28813877 159.735718 73.804915
    Oben rechts KachelX + 1 123695 KachelY 24858 2.78796215 1.28813877 159.738465 73.804915
    Unten links KachelX 123694 KachelY + 1 24859 2.78791421 1.28812540 159.735718 73.804149
    Unten rechts KachelX + 1 123695 KachelY + 1 24859 2.78796215 1.28812540 159.738465 73.804149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28813877-1.28812540) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dl = 85.1802700000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28813877-1.28812540) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dr = 85.1802700000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78791421-2.78796215) × cos(1.28813877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.278908729072834 × 6371000     		do = 85.185904969474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78791421-2.78796215) × cos(1.28812540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.278921568494412 × 6371000     		du = 85.1898264593106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28813877)-sin(1.28812540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278908729072834-0.278921568494412)×R²
    abs(2.78796215-2.78791421)×1.28394215779815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28394215779815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28394215779815e-05×40589641000000     		ar = 7256.32540230294m²