Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123692 / 24861
↖ ↑ ↗
← N 73.802617°
E159.730224°		 ← 85.20 m → N 73.802617°
E159.732971°		 →
↑
85.18 m
↓
↑
85.18 m
↓
N 73.801851°
E159.730224°		 ← 85.20 m →
7 257 m²		 N 73.801851°
E159.732971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943698883056641 y=0.189678192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943698883056641 × 217)
    floor (0.943698883056641 × 131072)
    floor (123692.5)     		tx = 123692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189678192138672 × 217)
    floor (0.189678192138672 × 131072)
    floor (24861.5)     		ty = 24861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123692 / 24861 ti = "17/123692/24861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123692/24861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123692 ÷ 217
    123692 ÷ 131072     		x = 0.943695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24861 ÷ 217
    24861 ÷ 131072     		y = 0.189674377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943695068359375 × 2 - 1) × π
    0.88739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78781833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189674377441406 × 2 - 1) × π
    0.620651245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.94983339204578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78781833} λ = 2.78781833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94983339204578))-π/2
    2×atan(7.02751664287714)-π/2
    2×1.42944749306542-π/2
    2.85889498613084-1.57079632675     		φ = 1.28809866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78781833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28809866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.802617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123692 KachelY 24861 2.78781833 1.28809866 159.730224 73.802617
    Oben rechts KachelX + 1 123693 KachelY 24861 2.78786627 1.28809866 159.732971 73.802617
    Unten links KachelX 123692 KachelY + 1 24862 2.78781833 1.28808529 159.730224 73.801851
    Unten rechts KachelX + 1 123693 KachelY + 1 24862 2.78786627 1.28808529 159.732971 73.801851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28809866-1.28808529) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dl = 85.1802700000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28809866-1.28808529) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dr = 85.1802700000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78781833-2.78786627) × cos(1.28809866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.278947247187988 × 6371000     		do = 85.1976693932983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78781833-2.78786627) × cos(1.28808529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.278960086459982 × 6371000     		du = 85.201590837448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28809866)-sin(1.28808529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278947247187988-0.278960086459982)×R²
    abs(2.78786627-2.78781833)×1.2839271993581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2839271993581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2839271993581e-05×40589641000000     		ar = 7257.32749730317m²