Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123690 / 25129
↖ ↑ ↗
← N 73.596017°
E159.724731°		 ← 86.25 m → N 73.596017°
E159.727478°		 →
↑
86.26 m
↓
↑
86.26 m
↓
N 73.595241°
E159.724731°		 ← 86.26 m →
7 441 m²		 N 73.595241°
E159.727478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943683624267578 y=0.191722869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943683624267578 × 217)
    floor (0.943683624267578 × 131072)
    floor (123690.5)     		tx = 123690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191722869873047 × 217)
    floor (0.191722869873047 × 131072)
    floor (25129.5)     		ty = 25129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123690 / 25129 ti = "17/123690/25129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123690/25129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123690 ÷ 217
    123690 ÷ 131072     		x = 0.943679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25129 ÷ 217
    25129 ÷ 131072     		y = 0.191719055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943679809570312 × 2 - 1) × π
    0.887359619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78772246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191719055175781 × 2 - 1) × π
    0.616561889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.93698630294761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78772246} λ = 2.78772246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93698630294761))-π/2
    2×atan(6.93781097260265)-π/2
    2×1.42764456826108-π/2
    2.85528913652217-1.57079632675     		φ = 1.28449281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78772246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.724731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28449281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.596017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123690 KachelY 25129 2.78772246 1.28449281 159.724731 73.596017
    Oben rechts KachelX + 1 123691 KachelY 25129 2.78777040 1.28449281 159.727478 73.596017
    Unten links KachelX 123690 KachelY + 1 25130 2.78772246 1.28447927 159.724731 73.595241
    Unten rechts KachelX + 1 123691 KachelY + 1 25130 2.78777040 1.28447927 159.727478 73.595241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28449281-1.28447927) × R
    1.35399999998675e-05 × 6371000     		dl = 86.2633399991561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28449281-1.28447927) × R
    1.35399999998675e-05 × 6371000     		dr = 86.2633399991561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78772246-2.78777040) × cos(1.28449281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282408147157539 × 6371000     		do = 86.2547173275638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78772246-2.78777040) × cos(1.28447927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282421135977069 × 6371000     		du = 86.2586844473805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28449281)-sin(1.28447927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282408147157539-0.282421135977069)×R²
    abs(2.78777040-2.78772246)×1.2988819529991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2988819529991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2988819529991e-05×40589641000000     		ar = 7440.79111589603m²