Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123688 / 25336
↖ ↑ ↗
← N 73.434689°
E159.719238°		 ← 87.06 m → N 73.434689°
E159.721985°		 →
↑
87.03 m
↓
↑
87.03 m
↓
N 73.433906°
E159.719238°		 ← 87.07 m →
7 577 m²		 N 73.433906°
E159.721985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943668365478516 y=0.193302154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943668365478516 × 217)
    floor (0.943668365478516 × 131072)
    floor (123688.5)     		tx = 123688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193302154541016 × 217)
    floor (0.193302154541016 × 131072)
    floor (25336.5)     		ty = 25336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123688 / 25336 ti = "17/123688/25336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123688/25336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123688 ÷ 217
    123688 ÷ 131072     		x = 0.94366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25336 ÷ 217
    25336 ÷ 131072     		y = 0.19329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94366455078125 × 2 - 1) × π
    0.8873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78762659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19329833984375 × 2 - 1) × π
    0.6134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92706336472626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78762659} λ = 2.78762659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92706336472626))-π/2
    2×atan(6.86930794070017)-π/2
    2×1.42623672077556-π/2
    2.85247344155112-1.57079632675     		φ = 1.28167711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78762659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28167711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.434689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123688 KachelY 25336 2.78762659 1.28167711 159.719238 73.434689
    Oben rechts KachelX + 1 123689 KachelY 25336 2.78767452 1.28167711 159.721985 73.434689
    Unten links KachelX 123688 KachelY + 1 25337 2.78762659 1.28166345 159.719238 73.433906
    Unten rechts KachelX + 1 123689 KachelY + 1 25337 2.78767452 1.28166345 159.721985 73.433906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28167711-1.28166345) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dl = 87.0278600001684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28167711-1.28166345) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dr = 87.0278600001684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78762659-2.78767452) × cos(1.28167711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285108109184152 × 6371000     		do = 87.0611909899874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78762659-2.78767452) × cos(1.28166345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285121202204247 × 6371000     		du = 87.0651891011825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28167711)-sin(1.28166345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285108109184152-0.285121202204247)×R²
    abs(2.78767452-2.78762659)×1.30930200951673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30930200951673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30930200951673e-05×40589641000000     		ar = 7576.92311462921m²