Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123688 / 24871
↖ ↑ ↗
← N 73.794954°
E159.719238°		 ← 85.22 m → N 73.794954°
E159.721985°		 →
↑
85.24 m
↓
↑
85.24 m
↓
N 73.794187°
E159.719238°		 ← 85.22 m →
7 265 m²		 N 73.794187°
E159.721985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943668365478516 y=0.189754486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943668365478516 × 217)
    floor (0.943668365478516 × 131072)
    floor (123688.5)     		tx = 123688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189754486083984 × 217)
    floor (0.189754486083984 × 131072)
    floor (24871.5)     		ty = 24871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123688 / 24871 ti = "17/123688/24871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123688/24871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123688 ÷ 217
    123688 ÷ 131072     		x = 0.94366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24871 ÷ 217
    24871 ÷ 131072     		y = 0.189750671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94366455078125 × 2 - 1) × π
    0.8873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78762659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189750671386719 × 2 - 1) × π
    0.620498657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.94935402304958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78762659} λ = 2.78762659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94935402304958))-π/2
    2×atan(7.02414867659207)-π/2
    2×1.42938061834311-π/2
    2.85876123668623-1.57079632675     		φ = 1.28796491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78762659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28796491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.794954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123688 KachelY 24871 2.78762659 1.28796491 159.719238 73.794954
    Oben rechts KachelX + 1 123689 KachelY 24871 2.78767452 1.28796491 159.721985 73.794954
    Unten links KachelX 123688 KachelY + 1 24872 2.78762659 1.28795153 159.719238 73.794187
    Unten rechts KachelX + 1 123689 KachelY + 1 24872 2.78767452 1.28795153 159.721985 73.794187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28796491-1.28795153) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dl = 85.2439799996927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28796491-1.28795153) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dr = 85.2439799996927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78762659-2.78767452) × cos(1.28796491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.279075685677133 × 6371000     		do = 85.2191179020633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78762659-2.78767452) × cos(1.28795153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.27908853405283 × 6371000     		du = 85.2230413081484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28796491)-sin(1.28795153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279075685677133-0.27908853405283)×R²
    abs(2.78767452-2.78762659)×1.28483756970943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.28483756970943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.28483756970943e-05×40589641000000     		ar = 7264.5840053947m²