Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123686 / 25334
↖ ↑ ↗
← N 73.436256°
E159.713745°		 ← 87.07 m → N 73.436256°
E159.716492°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.435472°
E159.713745°		 ← 87.08 m →
7 583 m²		 N 73.435472°
E159.716492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943653106689453 y=0.193286895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943653106689453 × 217)
    floor (0.943653106689453 × 131072)
    floor (123686.5)     		tx = 123686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193286895751953 × 217)
    floor (0.193286895751953 × 131072)
    floor (25334.5)     		ty = 25334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123686 / 25334 ti = "17/123686/25334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123686/25334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123686 ÷ 217
    123686 ÷ 131072     		x = 0.943649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25334 ÷ 217
    25334 ÷ 131072     		y = 0.193283081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943649291992188 × 2 - 1) × π
    0.887298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78753071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193283081054688 × 2 - 1) × π
    0.613433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9271592385255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78753071} λ = 2.78753071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9271592385255))-π/2
    2×atan(6.86996655892221)-π/2
    2×1.4262503873462-π/2
    2.8525007746924-1.57079632675     		φ = 1.28170445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78753071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28170445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.436256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123686 KachelY 25334 2.78753071 1.28170445 159.713745 73.436256
    Oben rechts KachelX + 1 123687 KachelY 25334 2.78757865 1.28170445 159.716492 73.436256
    Unten links KachelX 123686 KachelY + 1 25335 2.78753071 1.28169078 159.713745 73.435472
    Unten rechts KachelX + 1 123687 KachelY + 1 25335 2.78757865 1.28169078 159.716492 73.435472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28170445-1.28169078) × R
    1.36700000001877e-05 × 6371000     		dl = 87.0915700011958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28170445-1.28169078) × R
    1.36700000001877e-05 × 6371000     		dr = 87.0915700011958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78753071-2.78757865) × cos(1.28170445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285081903814301 × 6371000     		do = 87.0713514330345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78753071-2.78757865) × cos(1.28169078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285095006525864 × 6371000     		du = 87.0753533384097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28170445)-sin(1.28169078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285081903814301-0.285095006525864)×R²
    abs(2.78757865-2.78753071)×1.31027115632398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31027115632398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31027115632398e-05×40589641000000     		ar = 7583.35496480436m²