Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123686 / 24866
↖ ↑ ↗
← N 73.798785°
E159.713745°		 ← 85.22 m → N 73.798785°
E159.716492°		 →
↑
85.18 m
↓
↑
85.18 m
↓
N 73.798019°
E159.713745°		 ← 85.22 m →
7 259 m²		 N 73.798019°
E159.716492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943653106689453 y=0.189716339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943653106689453 × 217)
    floor (0.943653106689453 × 131072)
    floor (123686.5)     		tx = 123686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189716339111328 × 217)
    floor (0.189716339111328 × 131072)
    floor (24866.5)     		ty = 24866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123686 / 24866 ti = "17/123686/24866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123686/24866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123686 ÷ 217
    123686 ÷ 131072     		x = 0.943649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24866 ÷ 217
    24866 ÷ 131072     		y = 0.189712524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943649291992188 × 2 - 1) × π
    0.887298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78753071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189712524414062 × 2 - 1) × π
    0.620574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94959370754768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78753071} λ = 2.78753071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94959370754768))-π/2
    2×atan(7.02583245792228)-π/2
    2×1.42941405955234-π/2
    2.85882811910468-1.57079632675     		φ = 1.28803179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78753071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28803179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.798785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123686 KachelY 24866 2.78753071 1.28803179 159.713745 73.798785
    Oben rechts KachelX + 1 123687 KachelY 24866 2.78757865 1.28803179 159.716492 73.798785
    Unten links KachelX 123686 KachelY + 1 24867 2.78753071 1.28801842 159.713745 73.798019
    Unten rechts KachelX + 1 123687 KachelY + 1 24867 2.78757865 1.28801842 159.716492 73.798019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28803179-1.28801842) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dl = 85.1802700000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28803179-1.28801842) × R
    1.33700000000125e-05 × 6371000     		dr = 85.1802700000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78753071-2.78757865) × cos(1.28803179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279011462255028 × 6371000     		do = 85.2172823276682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78753071-2.78757865) × cos(1.28801842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279024301277594 × 6371000     		du = 85.2212036956362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28803179)-sin(1.28801842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279011462255028-0.279024301277594)×R²
    abs(2.78757865-2.78753071)×1.28390225658248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28390225658248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28390225658248e-05×40589641000000     		ar = 7258.99812911288m²