Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123685 / 25335
↖ ↑ ↗
← N 73.435472°
E159.710999°		 ← 87.06 m → N 73.435472°
E159.713745°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.434689°
E159.710999°		 ← 87.06 m →
7 582 m²		 N 73.434689°
E159.713745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943645477294922 y=0.193294525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943645477294922 × 217)
    floor (0.943645477294922 × 131072)
    floor (123685.5)     		tx = 123685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193294525146484 × 217)
    floor (0.193294525146484 × 131072)
    floor (25335.5)     		ty = 25335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123685 / 25335 ti = "17/123685/25335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123685/25335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123685 ÷ 217
    123685 ÷ 131072     		x = 0.943641662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25335 ÷ 217
    25335 ÷ 131072     		y = 0.193290710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943641662597656 × 2 - 1) × π
    0.887283325195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.78748278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193290710449219 × 2 - 1) × π
    0.613418579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92711130162588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78748278} λ = 2.78748278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92711130162588))-π/2
    2×atan(6.86963724191816)-π/2
    2×1.42624355421787-π/2
    2.85248710843573-1.57079632675     		φ = 1.28169078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78748278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.710999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28169078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.435472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123685 KachelY 25335 2.78748278 1.28169078 159.710999 73.435472
    Oben rechts KachelX + 1 123686 KachelY 25335 2.78753071 1.28169078 159.713745 73.435472
    Unten links KachelX 123685 KachelY + 1 25336 2.78748278 1.28167711 159.710999 73.434689
    Unten rechts KachelX + 1 123686 KachelY + 1 25336 2.78753071 1.28167711 159.713745 73.434689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28169078-1.28167711) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28169078-1.28167711) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78748278-2.78753071) × cos(1.28169078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285095006525864 × 6371000     		do = 87.0571899356543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78748278-2.78753071) × cos(1.28167711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285108109184152 × 6371000     		du = 87.0611909899874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28169078)-sin(1.28167711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285095006525864-0.285108109184152)×R²
    abs(2.78753071-2.78748278)×1.31026582876892e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31026582876892e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31026582876892e-05×40589641000000     		ar = 7582.12158031332m²