Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123685 / 24867
↖ ↑ ↗
← N 73.798019°
E159.710999°		 ← 85.20 m → N 73.798019°
E159.713745°		 →
↑
85.24 m
↓
↑
85.24 m
↓
N 73.797253°
E159.710999°		 ← 85.21 m →
7 263 m²		 N 73.797253°
E159.713745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943645477294922 y=0.189723968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943645477294922 × 217)
    floor (0.943645477294922 × 131072)
    floor (123685.5)     		tx = 123685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189723968505859 × 217)
    floor (0.189723968505859 × 131072)
    floor (24867.5)     		ty = 24867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123685 / 24867 ti = "17/123685/24867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123685/24867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123685 ÷ 217
    123685 ÷ 131072     		x = 0.943641662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24867 ÷ 217
    24867 ÷ 131072     		y = 0.189720153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943641662597656 × 2 - 1) × π
    0.887283325195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.78748278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189720153808594 × 2 - 1) × π
    0.620559692382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.94954577064806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78748278} λ = 2.78748278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94954577064806))-π/2
    2×atan(7.02549566936936)-π/2
    2×1.42940737192624-π/2
    2.85881474385248-1.57079632675     		φ = 1.28801842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78748278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.710999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28801842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.798019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123685 KachelY 24867 2.78748278 1.28801842 159.710999 73.798019
    Oben rechts KachelX + 1 123686 KachelY 24867 2.78753071 1.28801842 159.713745 73.798019
    Unten links KachelX 123685 KachelY + 1 24868 2.78748278 1.28800504 159.710999 73.797253
    Unten rechts KachelX + 1 123686 KachelY + 1 24868 2.78753071 1.28800504 159.713745 73.797253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28801842-1.28800504) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dl = 85.2439799996927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28801842-1.28800504) × R
    1.33799999999518e-05 × 6371000     		dr = 85.2439799996927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78748278-2.78753071) × cos(1.28801842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.279024301277594 × 6371000     		do = 85.2034270575099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78748278-2.78753071) × cos(1.28800504) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.279037149853085 × 6371000     		du = 85.2073505246045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28801842)-sin(1.28800504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279024301277594-0.279037149853085)×R²
    abs(2.78753071-2.78748278)×1.28485754913865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.28485754913865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.28485754913865e-05×40589641000000     		ar = 7263.24645795755m²