Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123684 / 25060
↖ ↑ ↗
← N 73.649453°
E159.708252°		 ← 85.98 m → N 73.649453°
E159.710999°		 →
↑
86.01 m
↓
↑
86.01 m
↓
N 73.648679°
E159.708252°		 ← 85.99 m →
7 395 m²		 N 73.648679°
E159.710999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943637847900391 y=0.191196441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943637847900391 × 217)
    floor (0.943637847900391 × 131072)
    floor (123684.5)     		tx = 123684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191196441650391 × 217)
    floor (0.191196441650391 × 131072)
    floor (25060.5)     		ty = 25060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123684 / 25060 ti = "17/123684/25060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123684/25060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123684 ÷ 217
    123684 ÷ 131072     		x = 0.943634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25060 ÷ 217
    25060 ÷ 131072     		y = 0.191192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943634033203125 × 2 - 1) × π
    0.88726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78743484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191192626953125 × 2 - 1) × π
    0.61761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94029394902139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78743484} λ = 2.78743484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94029394902139))-π/2
    2×atan(6.96079678934368)-π/2
    2×1.42811088109535-π/2
    2.85622176219069-1.57079632675     		φ = 1.28542544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78743484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28542544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.649453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123684 KachelY 25060 2.78743484 1.28542544 159.708252 73.649453
    Oben rechts KachelX + 1 123685 KachelY 25060 2.78748278 1.28542544 159.710999 73.649453
    Unten links KachelX 123684 KachelY + 1 25061 2.78743484 1.28541194 159.708252 73.648679
    Unten rechts KachelX + 1 123685 KachelY + 1 25061 2.78748278 1.28541194 159.710999 73.648679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28542544-1.28541194) × R
    1.35000000001106e-05 × 6371000     		dl = 86.0085000007049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28542544-1.28541194) × R
    1.35000000001106e-05 × 6371000     		dr = 86.0085000007049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78743484-2.78748278) × cos(1.28542544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281513357784084 × 6371000     		do = 85.9814256210321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78743484-2.78748278) × cos(1.28541194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281526311782103 × 6371000     		du = 85.9853821054631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28542544)-sin(1.28541194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281513357784084-0.281526311782103)×R²
    abs(2.78748278-2.78743484)×1.29539980192606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29539980192606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29539980192606e-05×40589641000000     		ar = 7395.30359144938m²