Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123682 / 24994
↖ ↑ ↗
← N 73.700406°
E159.702759°		 ← 85.70 m → N 73.700406°
E159.705505°		 →
↑
85.75 m
↓
↑
85.75 m
↓
N 73.699635°
E159.702759°		 ← 85.71 m →
7 350 m²		 N 73.699635°
E159.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943622589111328 y=0.190692901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943622589111328 × 217)
    floor (0.943622589111328 × 131072)
    floor (123682.5)     		tx = 123682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190692901611328 × 217)
    floor (0.190692901611328 × 131072)
    floor (24994.5)     		ty = 24994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123682 / 24994 ti = "17/123682/24994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123682/24994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123682 ÷ 217
    123682 ÷ 131072     		x = 0.943618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24994 ÷ 217
    24994 ÷ 131072     		y = 0.190689086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943618774414062 × 2 - 1) × π
    0.887237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78733897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190689086914062 × 2 - 1) × π
    0.618621826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94345778439632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78733897} λ = 2.78733897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94345778439632))-π/2
    2×atan(6.98285447951417)-π/2
    2×1.42855553670118-π/2
    2.85711107340236-1.57079632675     		φ = 1.28631475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78733897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28631475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.700406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123682 KachelY 24994 2.78733897 1.28631475 159.702759 73.700406
    Oben rechts KachelX + 1 123683 KachelY 24994 2.78738690 1.28631475 159.705505 73.700406
    Unten links KachelX 123682 KachelY + 1 24995 2.78733897 1.28630129 159.702759 73.699635
    Unten rechts KachelX + 1 123683 KachelY + 1 24995 2.78738690 1.28630129 159.705505 73.699635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28631475-1.28630129) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dl = 85.7536600008391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28631475-1.28630129) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dr = 85.7536600008391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78733897-2.78738690) × cos(1.28631475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280659902665488 × 6371000     		do = 85.7028776175883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78733897-2.78738690) × cos(1.28630129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280672821646083 × 6371000     		du = 85.7068225837283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28631475)-sin(1.28630129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280659902665488-0.280672821646083)×R²
    abs(2.78738690-2.78733897)×1.2918980594856e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.2918980594856e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.2918980594856e-05×40589641000000     		ar = 7349.50457596391m²