Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12368 / 12657
↖ ↑ ↗
← S 69.542199°
E 91.757812°		 ← 853.97 m → S 69.542199°
E 91.779785°		 →
↑
853.78 m
↓
↑
853.78 m
↓
S 69.549877°
E 91.757812°		 ← 853.66 m →
728 968 m²		 S 69.549877°
E 91.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754913330078125 y=0.772552490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754913330078125 × 214)
    floor (0.754913330078125 × 16384)
    floor (12368.5)     		tx = 12368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772552490234375 × 214)
    floor (0.772552490234375 × 16384)
    floor (12657.5)     		ty = 12657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12368 / 12657 ti = "14/12368/12657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12368/12657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12368 ÷ 214
    12368 ÷ 16384     		x = 0.7548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12657 ÷ 214
    12657 ÷ 16384     		y = 0.77252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60147594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60147594} λ = 1.60147594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71230605442841))-π/2
    2×atan(0.18044918679758)-π/2
    2×0.178527994017136-π/2
    0.357055988034273-1.57079632675     		φ = -1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60147594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.757812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12368 KachelY 12657 1.60147594 -1.21374034 91.757812 -69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 12369 KachelY 12657 1.60185944 -1.21374034 91.779785 -69.542199
    Unten links KachelX 12368 KachelY + 1 12658 1.60147594 -1.21387435 91.757812 -69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 12369 KachelY + 1 12658 1.60185944 -1.21387435 91.779785 -69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21374034--1.21387435) × R
    0.000134010000000018 × 6371000     		dl = 853.777710000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21374034--1.21387435) × R
    0.000134010000000018 × 6371000     		dr = 853.777710000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60147594-1.60185944) × cos(-1.21374034) × R
    0.00038349999999987 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 853.968392849749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60147594-1.60185944) × cos(-1.21387435) × R
    0.00038349999999987 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 853.661612090589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21374034)-sin(-1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349391856921296)×R²
    abs(1.60185944-1.60147594)×0.000125561109451944×R²
    0.00038349999999987×0.000125561109451944×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125561109451944×40589641000000     		ar = 728968.21866374m²