Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123679 / 25009
↖ ↑ ↗
← N 73.688839°
E159.694519°		 ← 85.78 m → N 73.688839°
E159.697266°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.688068°
E159.694519°		 ← 85.78 m →
7 362 m²		 N 73.688068°
E159.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943599700927734 y=0.190807342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943599700927734 × 217)
    floor (0.943599700927734 × 131072)
    floor (123679.5)     		tx = 123679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190807342529297 × 217)
    floor (0.190807342529297 × 131072)
    floor (25009.5)     		ty = 25009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123679 / 25009 ti = "17/123679/25009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123679/25009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123679 ÷ 217
    123679 ÷ 131072     		x = 0.943595886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25009 ÷ 217
    25009 ÷ 131072     		y = 0.190803527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943595886230469 × 2 - 1) × π
    0.887191772460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.78719515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190803527832031 × 2 - 1) × π
    0.618392944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.94273873090202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78719515} λ = 2.78719515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94273873090202))-π/2
    2×atan(6.97783523836818)-π/2
    2×1.42845459713098-π/2
    2.85690919426195-1.57079632675     		φ = 1.28611287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78719515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.694519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28611287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.688839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123679 KachelY 25009 2.78719515 1.28611287 159.694519 73.688839
    Oben rechts KachelX + 1 123680 KachelY 25009 2.78724309 1.28611287 159.697266 73.688839
    Unten links KachelX 123679 KachelY + 1 25010 2.78719515 1.28609940 159.694519 73.688068
    Unten rechts KachelX + 1 123680 KachelY + 1 25010 2.78724309 1.28609940 159.697266 73.688068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28611287-1.28609940) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dl = 85.8173700004519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28611287-1.28609940) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dr = 85.8173700004519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78719515-2.78724309) × cos(1.28611287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280853662839088 × 6371000     		do = 85.7799378042827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78719515-2.78724309) × cos(1.28609940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280866590654232 × 6371000     		du = 85.7838862917895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28611287)-sin(1.28609940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280853662839088-0.280866590654232)×R²
    abs(2.78724309-2.78719515)×1.29278151436707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29278151436707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29278151436707e-05×40589641000000     		ar = 7361.57808584128m²