Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123674 / 24986
↖ ↑ ↗
← N 73.706572°
E159.680786°		 ← 85.69 m → N 73.706572°
E159.683533°		 →
↑
85.69 m
↓
↑
85.69 m
↓
N 73.705801°
E159.680786°		 ← 85.69 m →
7 343 m²		 N 73.705801°
E159.683533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943561553955078 y=0.190631866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943561553955078 × 217)
    floor (0.943561553955078 × 131072)
    floor (123674.5)     		tx = 123674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190631866455078 × 217)
    floor (0.190631866455078 × 131072)
    floor (24986.5)     		ty = 24986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123674 / 24986 ti = "17/123674/24986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123674/24986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123674 ÷ 217
    123674 ÷ 131072     		x = 0.943557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24986 ÷ 217
    24986 ÷ 131072     		y = 0.190628051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943557739257812 × 2 - 1) × π
    0.887115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78695547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190628051757812 × 2 - 1) × π
    0.618743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94384127959328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78695547} λ = 2.78695547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94384127959328))-π/2
    2×atan(6.98553288421298)-π/2
    2×1.42860934266093-π/2
    2.85721868532186-1.57079632675     		φ = 1.28642236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78695547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.680786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28642236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.706572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123674 KachelY 24986 2.78695547 1.28642236 159.680786 73.706572
    Oben rechts KachelX + 1 123675 KachelY 24986 2.78700341 1.28642236 159.683533 73.706572
    Unten links KachelX 123674 KachelY + 1 24987 2.78695547 1.28640891 159.680786 73.705801
    Unten rechts KachelX + 1 123675 KachelY + 1 24987 2.78700341 1.28640891 159.683533 73.705801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28642236-1.28640891) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dl = 85.6899499998116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28642236-1.28640891) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dr = 85.6899499998116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78695547-2.78700341) × cos(1.28642236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280556616179038 × 6371000     		do = 85.6892121083223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78695547-2.78700341) × cos(1.28640891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280569525967746 × 6371000     		du = 85.6931550900919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28642236)-sin(1.28640891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280556616179038-0.280569525967746)×R²
    abs(2.78700341-2.78695547)×1.29097887086038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29097887086038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29097887086038e-05×40589641000000     		ar = 7342.87323806825m²