Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123673 / 24983
↖ ↑ ↗
← N 73.708883°
E159.678039°		 ← 85.68 m → N 73.708883°
E159.680786°		 →
↑
85.63 m
↓
↑
85.63 m
↓
N 73.708113°
E159.678039°		 ← 85.68 m →
7 336 m²		 N 73.708113°
E159.680786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943553924560547 y=0.190608978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943553924560547 × 217)
    floor (0.943553924560547 × 131072)
    floor (123673.5)     		tx = 123673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190608978271484 × 217)
    floor (0.190608978271484 × 131072)
    floor (24983.5)     		ty = 24983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123673 / 24983 ti = "17/123673/24983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123673/24983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123673 ÷ 217
    123673 ÷ 131072     		x = 0.943550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24983 ÷ 217
    24983 ÷ 131072     		y = 0.190605163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943550109863281 × 2 - 1) × π
    0.887100219726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.78690753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190605163574219 × 2 - 1) × π
    0.618789672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.94398509029214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78690753} λ = 2.78690753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94398509029214))-π/2
    2×atan(6.98653755081814)-π/2
    2×1.42862951479029-π/2
    2.85725902958057-1.57079632675     		φ = 1.28646270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78690753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.678039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28646270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.708883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123673 KachelY 24983 2.78690753 1.28646270 159.678039 73.708883
    Oben rechts KachelX + 1 123674 KachelY 24983 2.78695547 1.28646270 159.680786 73.708883
    Unten links KachelX 123673 KachelY + 1 24984 2.78690753 1.28644926 159.678039 73.708113
    Unten rechts KachelX + 1 123674 KachelY + 1 24984 2.78695547 1.28644926 159.680786 73.708113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28646270-1.28644926) × R
    1.34400000000312e-05 × 6371000     		dl = 85.6262400001988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28646270-1.28644926) × R
    1.34400000000312e-05 × 6371000     		dr = 85.6262400001988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78690753-2.78695547) × cos(1.28646270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280517896106889 × 6371000     		do = 85.6773860016334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78690753-2.78695547) × cos(1.28644926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280530796449362 × 6371000     		du = 85.6813260982797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28646270)-sin(1.28644926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280517896106889-0.280530796449362)×R²
    abs(2.78695547-2.78690753)×1.2900342473865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2900342473865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2900342473865e-05×40589641000000     		ar = 7336.40110440976m²