Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12367 / 20706
↖ ↑ ↗
← S 42.827638°
W 44.132080°		 ← 895.91 m → S 42.827638°
W 44.121094°		 →
↑
895.89 m
↓
↑
895.89 m
↓
S 42.835695°
W 44.132080°		 ← 895.79 m →
802 581 m²		 S 42.835695°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377426147460938 y=0.631912231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377426147460938 × 215)
    floor (0.377426147460938 × 32768)
    floor (12367.5)     		tx = 12367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631912231445312 × 215)
    floor (0.631912231445312 × 32768)
    floor (20706.5)     		ty = 20706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12367 / 20706 ti = "15/12367/20706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12367/20706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12367 ÷ 215
    12367 ÷ 32768     		x = 0.377410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20706 ÷ 215
    20706 ÷ 32768     		y = 0.63189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.828733120631531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77025010} λ = -0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828733120631531))-π/2
    2×atan(0.436602058239749)-π/2
    2×0.411656510877753-π/2
    0.823313021755506-1.57079632675     		φ = -0.74748330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74748330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.827638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12367 KachelY 20706 -0.77025010 -0.74748330 -44.132080 -42.827638
    Oben rechts KachelX + 1 12368 KachelY 20706 -0.77005836 -0.74748330 -44.121094 -42.827638
    Unten links KachelX 12367 KachelY + 1 20707 -0.77025010 -0.74762392 -44.132080 -42.835695
    Unten rechts KachelX + 1 12368 KachelY + 1 20707 -0.77005836 -0.74762392 -44.121094 -42.835695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74748330--0.74762392) × R
    0.000140620000000036 × 6371000     		dl = 895.890020000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74748330--0.74762392) × R
    0.000140620000000036 × 6371000     		dr = 895.890020000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77025010--0.77005836) × cos(-0.74748330) × R
    0.000191739999999996 × 0.733402030153727 × 6371000     		do = 895.905981022116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77025010--0.77005836) × cos(-0.74762392) × R
    0.000191739999999996 × 0.733306430107233 × 6371000     		du = 895.789198343696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74748330)-sin(-0.74762392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733402030153727-0.733306430107233)×R²
    abs(-0.77005836--0.77025010)×9.56000464940043e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56000464940043e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56000464940043e-05×40589641000000     		ar = 802580.916360401m²