Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123666 / 26384
↖ ↑ ↗
← N 72.593980°
E159.658813°		 ← 91.37 m → N 72.593980°
E159.661560°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.593158°
E159.658813°		 ← 91.37 m →
8 347 m²		 N 72.593158°
E159.661560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943500518798828 y=0.201297760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943500518798828 × 217)
    floor (0.943500518798828 × 131072)
    floor (123666.5)     		tx = 123666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201297760009766 × 217)
    floor (0.201297760009766 × 131072)
    floor (26384.5)     		ty = 26384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123666 / 26384 ti = "17/123666/26384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123666/26384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123666 ÷ 217
    123666 ÷ 131072     		x = 0.943496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26384 ÷ 217
    26384 ÷ 131072     		y = 0.2012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943496704101562 × 2 - 1) × π
    0.886993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78657197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2012939453125 × 2 - 1) × π
    0.597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87682549392444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78657197} λ = 2.78657197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87682549392444))-π/2
    2×atan(6.53273370771137)-π/2
    2×1.41890014188772-π/2
    2.83780028377545-1.57079632675     		φ = 1.26700396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78657197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.658813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26700396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.593980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123666 KachelY 26384 2.78657197 1.26700396 159.658813 72.593980
    Oben rechts KachelX + 1 123667 KachelY 26384 2.78661991 1.26700396 159.661560 72.593980
    Unten links KachelX 123666 KachelY + 1 26385 2.78657197 1.26698962 159.658813 72.593158
    Unten rechts KachelX + 1 123667 KachelY + 1 26385 2.78661991 1.26698962 159.661560 72.593158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26700396-1.26698962) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26700396-1.26698962) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78657197-2.78661991) × cos(1.26700396) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.29914105926629 × 6371000     		do = 91.365379391577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78657197-2.78661991) × cos(1.26698962) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.299154742591173 × 6371000     		du = 91.3695586312049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26700396)-sin(1.26698962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29914105926629-0.299154742591173)×R²
    abs(2.78661991-2.78657197)×1.36833248823298e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.36833248823298e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.36833248823298e-05×40589641000000     		ar = 8347.34476046907m²