Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123665 / 26390
↖ ↑ ↗
← N 72.589049°
E159.656067°		 ← 91.37 m → N 72.589049°
E159.658813°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
N 72.588227°
E159.656067°		 ← 91.38 m →
8 354 m²		 N 72.588227°
E159.658813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943492889404297 y=0.201343536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943492889404297 × 217)
    floor (0.943492889404297 × 131072)
    floor (123665.5)     		tx = 123665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201343536376953 × 217)
    floor (0.201343536376953 × 131072)
    floor (26390.5)     		ty = 26390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123665 / 26390 ti = "17/123665/26390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123665/26390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123665 ÷ 217
    123665 ÷ 131072     		x = 0.943489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26390 ÷ 217
    26390 ÷ 131072     		y = 0.201339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943489074707031 × 2 - 1) × π
    0.886978149414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.78652404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201339721679688 × 2 - 1) × π
    0.597320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87653787252672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78652404} λ = 2.78652404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87653787252672))-π/2
    2×atan(6.5308550238992)-π/2
    2×1.41885711629864-π/2
    2.83771423259727-1.57079632675     		φ = 1.26691791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78652404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.656067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26691791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.589049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123665 KachelY 26390 2.78652404 1.26691791 159.656067 72.589049
    Oben rechts KachelX + 1 123666 KachelY 26390 2.78657197 1.26691791 159.658813 72.589049
    Unten links KachelX 123665 KachelY + 1 26391 2.78652404 1.26690356 159.656067 72.588227
    Unten rechts KachelX + 1 123666 KachelY + 1 26391 2.78657197 1.26690356 159.658813 72.588227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26691791-1.26690356) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26691791-1.26690356) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78652404-2.78657197) × cos(1.26691791) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.299223167834606 × 6371000     		do = 91.3713939522153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78652404-2.78657197) × cos(1.26690356) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.29923686033209 × 6371000     		du = 91.3755751210429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26691791)-sin(1.26690356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299223167834606-0.29923686033209)×R²
    abs(2.78657197-2.78652404)×1.36924974845631e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.36924974845631e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.36924974845631e-05×40589641000000     		ar = 8353.71574451025m²