Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123665 / 26383
↖ ↑ ↗
← N 72.594801°
E159.656067°		 ← 91.34 m → N 72.594801°
E159.658813°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.593980°
E159.656067°		 ← 91.35 m →
8 345 m²		 N 72.593980°
E159.658813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943492889404297 y=0.201290130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943492889404297 × 217)
    floor (0.943492889404297 × 131072)
    floor (123665.5)     		tx = 123665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201290130615234 × 217)
    floor (0.201290130615234 × 131072)
    floor (26383.5)     		ty = 26383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123665 / 26383 ti = "17/123665/26383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123665/26383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123665 ÷ 217
    123665 ÷ 131072     		x = 0.943489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26383 ÷ 217
    26383 ÷ 131072     		y = 0.201286315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943489074707031 × 2 - 1) × π
    0.886978149414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.78652404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201286315917969 × 2 - 1) × π
    0.597427368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.87687343082406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78652404} λ = 2.78652404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87687343082406))-π/2
    2×atan(6.53304687421741)-π/2
    2×1.41890731167128-π/2
    2.83781462334256-1.57079632675     		φ = 1.26701830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78652404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.656067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26701830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.594801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123665 KachelY 26383 2.78652404 1.26701830 159.656067 72.594801
    Oben rechts KachelX + 1 123666 KachelY 26383 2.78657197 1.26701830 159.658813 72.594801
    Unten links KachelX 123665 KachelY + 1 26384 2.78652404 1.26700396 159.656067 72.593980
    Unten rechts KachelX + 1 123666 KachelY + 1 26384 2.78657197 1.26700396 159.658813 72.593980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26701830-1.26700396) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dl = 91.3601399993027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26701830-1.26700396) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dr = 91.3601399993027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78652404-2.78657197) × cos(1.26701830) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.299127375879894 × 6371000     		do = 91.3421427264671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78652404-2.78657197) × cos(1.26700396) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.29914105926629 × 6371000     		du = 91.3463211131143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26701830)-sin(1.26700396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299127375879894-0.29914105926629)×R²
    abs(2.78657197-2.78652404)×1.36833863961239e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.36833863961239e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.36833863961239e-05×40589641000000     		ar = 8345.22181642177m²