Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123662 / 26378
↖ ↑ ↗
← N 72.598908°
E159.647827°		 ← 91.32 m → N 72.598908°
E159.650573°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 72.598087°
E159.647827°		 ← 91.33 m →
8 337 m²		 N 72.598087°
E159.650573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943470001220703 y=0.201251983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943470001220703 × 217)
    floor (0.943470001220703 × 131072)
    floor (123662.5)     		tx = 123662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201251983642578 × 217)
    floor (0.201251983642578 × 131072)
    floor (26378.5)     		ty = 26378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123662 / 26378 ti = "17/123662/26378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123662/26378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123662 ÷ 217
    123662 ÷ 131072     		x = 0.943466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26378 ÷ 217
    26378 ÷ 131072     		y = 0.201248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943466186523438 × 2 - 1) × π
    0.886932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78638023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201248168945312 × 2 - 1) × π
    0.597503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87711311532216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78638023} λ = 2.78638023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87711311532216))-π/2
    2×atan(6.53461293195091)-π/2
    2×1.41894315567002-π/2
    2.83788631134004-1.57079632675     		φ = 1.26708998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78638023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26708998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.598908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123662 KachelY 26378 2.78638023 1.26708998 159.647827 72.598908
    Oben rechts KachelX + 1 123663 KachelY 26378 2.78642816 1.26708998 159.650573 72.598908
    Unten links KachelX 123662 KachelY + 1 26379 2.78638023 1.26707565 159.647827 72.598087
    Unten rechts KachelX + 1 123663 KachelY + 1 26379 2.78642816 1.26707565 159.650573 72.598087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26708998-1.26707565) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26708998-1.26707565) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78638023-2.78642816) × cos(1.26708998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299058977109993 × 6371000     		do = 91.321256340087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78638023-2.78642816) × cos(1.26707565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299072651261528 × 6371000     		du = 91.3254319067583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26708998)-sin(1.26707565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299058977109993-0.299072651261528)×R²
    abs(2.78642816-2.78638023)×1.36741515350258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36741515350258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36741515350258e-05×40589641000000     		ar = 8337.49529432647m²