Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123661 / 26379
↖ ↑ ↗
← N 72.598087°
E159.645081°		 ← 91.34 m → N 72.598087°
E159.647827°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.597265°
E159.645081°		 ← 91.35 m →
8 345 m²		 N 72.597265°
E159.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943462371826172 y=0.201259613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943462371826172 × 217)
    floor (0.943462371826172 × 131072)
    floor (123661.5)     		tx = 123661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201259613037109 × 217)
    floor (0.201259613037109 × 131072)
    floor (26379.5)     		ty = 26379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123661 / 26379 ti = "17/123661/26379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123661/26379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123661 ÷ 217
    123661 ÷ 131072     		x = 0.943458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26379 ÷ 217
    26379 ÷ 131072     		y = 0.201255798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943458557128906 × 2 - 1) × π
    0.886917114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.78633229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201255798339844 × 2 - 1) × π
    0.597488403320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.87706517842254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78633229} λ = 2.78633229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87706517842254))-π/2
    2×atan(6.53429969037471)-π/2
    2×1.4189359875261-π/2
    2.83787197505219-1.57079632675     		φ = 1.26707565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78633229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26707565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.598087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123661 KachelY 26379 2.78633229 1.26707565 159.645081 72.598087
    Oben rechts KachelX + 1 123662 KachelY 26379 2.78638023 1.26707565 159.647827 72.598087
    Unten links KachelX 123661 KachelY + 1 26380 2.78633229 1.26706131 159.645081 72.597265
    Unten rechts KachelX + 1 123662 KachelY + 1 26380 2.78638023 1.26706131 159.647827 72.597265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26707565-1.26706131) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dl = 91.3601399993027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26707565-1.26706131) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dr = 91.3601399993027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78633229-2.78638023) × cos(1.26707565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299072651261528 × 6371000     		do = 91.3444858252543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78633229-2.78638023) × cos(1.26706131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29908633489391 × 6371000     		du = 91.3486651588003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26707565)-sin(1.26706131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299072651261528-0.29908633489391)×R²
    abs(2.78638023-2.78633229)×1.36836323813561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36836323813561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36836323813561e-05×40589641000000     		ar = 8345.43592550569m²