Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12366 / 20177
↖ ↑ ↗
← S 38.419166°
W 44.143066°		 ← 957.14 m → S 38.419166°
W 44.132080°		 →
↑
957.05 m
↓
↑
957.05 m
↓
S 38.427773°
W 44.143066°		 ← 957.02 m →
915 975 m²		 S 38.427773°
W 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377395629882812 y=0.615768432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377395629882812 × 215)
    floor (0.377395629882812 × 32768)
    floor (12366.5)     		tx = 12366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615768432617188 × 215)
    floor (0.615768432617188 × 32768)
    floor (20177.5)     		ty = 20177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12366 / 20177 ti = "15/12366/20177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12366/20177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12366 ÷ 215
    12366 ÷ 32768     		x = 0.37738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20177 ÷ 215
    20177 ÷ 32768     		y = 0.615753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.727298641035492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77044185} λ = -0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727298641035492))-π/2
    2×atan(0.483212559171957)-π/2
    2×0.450127688682567-π/2
    0.900255377365134-1.57079632675     		φ = -0.67054095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67054095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.419166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12366 KachelY 20177 -0.77044185 -0.67054095 -44.143066 -38.419166
    Oben rechts KachelX + 1 12367 KachelY 20177 -0.77025010 -0.67054095 -44.132080 -38.419166
    Unten links KachelX 12366 KachelY + 1 20178 -0.77044185 -0.67069117 -44.143066 -38.427773
    Unten rechts KachelX + 1 12367 KachelY + 1 20178 -0.77025010 -0.67069117 -44.132080 -38.427773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67054095--0.67069117) × R
    0.000150219999999979 × 6371000     		dl = 957.051619999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67054095--0.67069117) × R
    0.000150219999999979 × 6371000     		dr = 957.051619999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77044185--0.77025010) × cos(-0.67054095) × R
    0.000191749999999935 × 0.783485628843895 × 6371000     		do = 957.13679600631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77044185--0.77025010) × cos(-0.67069117) × R
    0.000191749999999935 × 0.783392271808307 × 6371000     		du = 957.022747387372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67054095)-sin(-0.67069117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783485628843895-0.783392271808307)×R²
    abs(-0.77025010--0.77044185)×9.33570355883262e-05×R²
    0.000191749999999935×9.33570355883262e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.33570355883262e-05×40589641000000     		ar = 915974.7476944m²