Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12366 / 20176
↖ ↑ ↗
← S 38.410558°
W 44.143066°		 ← 957.25 m → S 38.410558°
W 44.132080°		 →
↑
957.18 m
↓
↑
957.18 m
↓
S 38.419166°
W 44.143066°		 ← 957.14 m →
916 206 m²		 S 38.419166°
W 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377395629882812 y=0.615737915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377395629882812 × 215)
    floor (0.377395629882812 × 32768)
    floor (12366.5)     		tx = 12366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615737915039062 × 215)
    floor (0.615737915039062 × 32768)
    floor (20176.5)     		ty = 20176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12366 / 20176 ti = "15/12366/20176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12366/20176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12366 ÷ 215
    12366 ÷ 32768     		x = 0.37738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20176 ÷ 215
    20176 ÷ 32768     		y = 0.61572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61572265625 × 2 - 1) × π
    -0.2314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.727106893437012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77044185} λ = -0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727106893437012))-π/2
    2×atan(0.483305222903473)-π/2
    2×0.450202808901549-π/2
    0.900405617803098-1.57079632675     		φ = -0.67039071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67039071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.410558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12366 KachelY 20176 -0.77044185 -0.67039071 -44.143066 -38.410558
    Oben rechts KachelX + 1 12367 KachelY 20176 -0.77025010 -0.67039071 -44.132080 -38.410558
    Unten links KachelX 12366 KachelY + 1 20177 -0.77044185 -0.67054095 -44.143066 -38.419166
    Unten rechts KachelX + 1 12367 KachelY + 1 20177 -0.77025010 -0.67054095 -44.132080 -38.419166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67039071--0.67054095) × R
    0.000150240000000079 × 6371000     		dl = 957.179040000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67039071--0.67054095) × R
    0.000150240000000079 × 6371000     		dr = 957.179040000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77044185--0.77025010) × cos(-0.67039071) × R
    0.000191749999999935 × 0.783578980625153 × 6371000     		do = 957.250838206352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77044185--0.77025010) × cos(-0.67054095) × R
    0.000191749999999935 × 0.783485628843895 × 6371000     		du = 957.13679600631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67039071)-sin(-0.67054095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783578980625153-0.783485628843895)×R²
    abs(-0.77025010--0.77044185)×9.33517812576889e-05×R²
    0.000191749999999935×9.33517812576889e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.33517812576889e-05×40589641000000     		ar = 916205.860675252m²