Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123657 / 24967
↖ ↑ ↗
← N 73.721206°
E159.634094°		 ← 85.61 m → N 73.721206°
E159.636841°		 →
↑
85.63 m
↓
↑
85.63 m
↓
N 73.720436°
E159.634094°		 ← 85.62 m →
7 331 m²		 N 73.720436°
E159.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943431854248047 y=0.190486907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943431854248047 × 217)
    floor (0.943431854248047 × 131072)
    floor (123657.5)     		tx = 123657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190486907958984 × 217)
    floor (0.190486907958984 × 131072)
    floor (24967.5)     		ty = 24967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123657 / 24967 ti = "17/123657/24967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123657/24967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123657 ÷ 217
    123657 ÷ 131072     		x = 0.943428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24967 ÷ 217
    24967 ÷ 131072     		y = 0.190483093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943428039550781 × 2 - 1) × π
    0.886856079101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.78614054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190483093261719 × 2 - 1) × π
    0.619033813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.94475208068606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78614054} λ = 2.78614054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94475208068606))-π/2
    2×atan(6.99189821353199)-π/2
    2×1.42873705246505-π/2
    2.85747410493011-1.57079632675     		φ = 1.28667778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78614054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28667778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.721206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123657 KachelY 24967 2.78614054 1.28667778 159.634094 73.721206
    Oben rechts KachelX + 1 123658 KachelY 24967 2.78618848 1.28667778 159.636841 73.721206
    Unten links KachelX 123657 KachelY + 1 24968 2.78614054 1.28666434 159.634094 73.720436
    Unten rechts KachelX + 1 123658 KachelY + 1 24968 2.78618848 1.28666434 159.636841 73.720436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28667778-1.28666434) × R
    1.34400000000312e-05 × 6371000     		dl = 85.6262400001988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28667778-1.28666434) × R
    1.34400000000312e-05 × 6371000     		dr = 85.6262400001988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78614054-2.78618848) × cos(1.28667778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280311445341277 × 6371000     		do = 85.6143306237731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78614054-2.78618848) × cos(1.28666434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280324346494358 × 6371000     		du = 85.6182709679995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28667778)-sin(1.28666434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280311445341277-0.280324346494358)×R²
    abs(2.78618848-2.78614054)×1.29011530802803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29011530802803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29011530802803e-05×40589641000000     		ar = 7331.00192015703m²