Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123656 / 26407
↖ ↑ ↗
← N 72.575073°
E159.631348°		 ← 91.44 m → N 72.575073°
E159.634094°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 72.574250°
E159.631348°		 ← 91.45 m →
8 366 m²		 N 72.574250°
E159.634094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943424224853516 y=0.201473236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943424224853516 × 217)
    floor (0.943424224853516 × 131072)
    floor (123656.5)     		tx = 123656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201473236083984 × 217)
    floor (0.201473236083984 × 131072)
    floor (26407.5)     		ty = 26407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123656 / 26407 ti = "17/123656/26407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123656/26407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123656 ÷ 217
    123656 ÷ 131072     		x = 0.94342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26407 ÷ 217
    26407 ÷ 131072     		y = 0.201469421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94342041015625 × 2 - 1) × π
    0.8868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78609261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201469421386719 × 2 - 1) × π
    0.597061157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.87572294523318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78609261} λ = 2.78609261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87572294523318))-π/2
    2×atan(6.52553501989272)-π/2
    2×1.41873514631988-π/2
    2.83747029263977-1.57079632675     		φ = 1.26667397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78609261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26667397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.575073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123656 KachelY 26407 2.78609261 1.26667397 159.631348 72.575073
    Oben rechts KachelX + 1 123657 KachelY 26407 2.78614054 1.26667397 159.634094 72.575073
    Unten links KachelX 123656 KachelY + 1 26408 2.78609261 1.26665961 159.631348 72.574250
    Unten rechts KachelX + 1 123657 KachelY + 1 26408 2.78614054 1.26665961 159.634094 72.574250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26667397-1.26665961) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26667397-1.26665961) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78609261-2.78614054) × cos(1.26667397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299455922368558 × 6371000     		do = 91.4424683500413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78609261-2.78614054) × cos(1.26665961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299469623359227 × 6371000     		du = 91.4466521123651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26667397)-sin(1.26665961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299455922368558-0.299469623359227)×R²
    abs(2.78614054-2.78609261)×1.37009906691632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37009906691632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37009906691632e-05×40589641000000     		ar = 8366.03969101697m²