Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123624 / 26472
↖ ↑ ↗
← N 72.521531°
E159.543457°		 ← 91.71 m → N 72.521531°
E159.546203°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 72.520707°
E159.543457°		 ← 91.72 m →
8 408 m²		 N 72.520707°
E159.546203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943180084228516 y=0.201969146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943180084228516 × 217)
    floor (0.943180084228516 × 131072)
    floor (123624.5)     		tx = 123624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201969146728516 × 217)
    floor (0.201969146728516 × 131072)
    floor (26472.5)     		ty = 26472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123624 / 26472 ti = "17/123624/26472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123624/26472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123624 ÷ 217
    123624 ÷ 131072     		x = 0.94317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26472 ÷ 217
    26472 ÷ 131072     		y = 0.20196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94317626953125 × 2 - 1) × π
    0.8863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78455863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20196533203125 × 2 - 1) × π
    0.5960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87260704675787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78455863} λ = 2.78455863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87260704675787))-π/2
    2×atan(6.50523376003113)-π/2
    2×1.41826791508143-π/2
    2.83653583016286-1.57079632675     		φ = 1.26573950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78455863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26573950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.521531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123624 KachelY 26472 2.78455863 1.26573950 159.543457 72.521531
    Oben rechts KachelX + 1 123625 KachelY 26472 2.78460656 1.26573950 159.546203 72.521531
    Unten links KachelX 123624 KachelY + 1 26473 2.78455863 1.26572511 159.543457 72.520707
    Unten rechts KachelX + 1 123625 KachelY + 1 26473 2.78460656 1.26572511 159.546203 72.520707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26573950-1.26572511) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26573950-1.26572511) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78455863-2.78460656) × cos(1.26573950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300347378789503 × 6371000     		do = 91.7146852923976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78455863-2.78460656) × cos(1.26572511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30036110437047 × 6371000     		du = 91.7188765636646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26573950)-sin(1.26572511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300347378789503-0.30036110437047)×R²
    abs(2.78460656-2.78455863)×1.37255809670167e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37255809670167e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37255809670167e-05×40589641000000     		ar = 8408.47432667091m²