Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123620 / 24997
↖ ↑ ↗
← N 73.698093°
E159.532471°		 ← 85.71 m → N 73.698093°
E159.535217°		 →
↑
85.69 m
↓
↑
85.69 m
↓
N 73.697323°
E159.532471°		 ← 85.72 m →
7 345 m²		 N 73.697323°
E159.535217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943149566650391 y=0.190715789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943149566650391 × 217)
    floor (0.943149566650391 × 131072)
    floor (123620.5)     		tx = 123620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190715789794922 × 217)
    floor (0.190715789794922 × 131072)
    floor (24997.5)     		ty = 24997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123620 / 24997 ti = "17/123620/24997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123620/24997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123620 ÷ 217
    123620 ÷ 131072     		x = 0.943145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24997 ÷ 217
    24997 ÷ 131072     		y = 0.190711975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943145751953125 × 2 - 1) × π
    0.88629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78436688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190711975097656 × 2 - 1) × π
    0.618576049804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.94331397369746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78436688} λ = 2.78436688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94331397369746))-π/2
    2×atan(6.98185034253598)-π/2
    2×1.42853535435972-π/2
    2.85707070871944-1.57079632675     		φ = 1.28627438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78436688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28627438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.698093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123620 KachelY 24997 2.78436688 1.28627438 159.532471 73.698093
    Oben rechts KachelX + 1 123621 KachelY 24997 2.78441481 1.28627438 159.535217 73.698093
    Unten links KachelX 123620 KachelY + 1 24998 2.78436688 1.28626093 159.532471 73.697323
    Unten rechts KachelX + 1 123621 KachelY + 1 24998 2.78441481 1.28626093 159.535217 73.697323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28627438-1.28626093) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dl = 85.6899499998116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28627438-1.28626093) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dr = 85.6899499998116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78436688-2.78441481) × cos(1.28627438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280698649856761 × 6371000     		do = 85.7147095385721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78436688-2.78441481) × cos(1.28626093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280711559086915 × 6371000     		du = 85.7186515272977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28627438)-sin(1.28626093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280698649856761-0.280711559086915)×R²
    abs(2.78441481-2.78436688)×1.29092301539013e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29092301539013e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29092301539013e-05×40589641000000     		ar = 7345.05806905049m²