Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12362 / 20166
↖ ↑ ↗
← S 38.324420°
W 44.187012°		 ← 958.39 m → S 38.324420°
W 44.176025°		 →
↑
958.33 m
↓
↑
958.33 m
↓
S 38.333039°
W 44.187012°		 ← 958.28 m →
918 396 m²		 S 38.333039°
W 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377273559570312 y=0.615432739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377273559570312 × 215)
    floor (0.377273559570312 × 32768)
    floor (12362.5)     		tx = 12362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615432739257812 × 215)
    floor (0.615432739257812 × 32768)
    floor (20166.5)     		ty = 20166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12362 / 20166 ti = "15/12362/20166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12362/20166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12362 ÷ 215
    12362 ÷ 32768     		x = 0.37725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20166 ÷ 215
    20166 ÷ 32768     		y = 0.61541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.2308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.725189417452209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77120884} λ = -0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.725189417452209))-π/2
    2×atan(0.484232838117454)-π/2
    2×0.450954503220661-π/2
    0.901909006441322-1.57079632675     		φ = -0.66888732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66888732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.324420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12362 KachelY 20166 -0.77120884 -0.66888732 -44.187012 -38.324420
    Oben rechts KachelX + 1 12363 KachelY 20166 -0.77101709 -0.66888732 -44.176025 -38.324420
    Unten links KachelX 12362 KachelY + 1 20167 -0.77120884 -0.66903774 -44.187012 -38.333039
    Unten rechts KachelX + 1 12363 KachelY + 1 20167 -0.77101709 -0.66903774 -44.176025 -38.333039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66888732--0.66903774) × R
    0.000150420000000095 × 6371000     		dl = 958.325820000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66888732--0.66903774) × R
    0.000150420000000095 × 6371000     		dr = 958.325820000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77120884--0.77101709) × cos(-0.66888732) × R
    0.000191750000000046 × 0.784512139218516 × 6371000     		do = 958.390821371034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77120884--0.77101709) × cos(-0.66903774) × R
    0.000191750000000046 × 0.784418852876942 × 6371000     		du = 958.276859114678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66888732)-sin(-0.66903774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784512139218516-0.784418852876942)×R²
    abs(-0.77101709--0.77120884)×9.32863415741281e-05×R²
    0.000191750000000046×9.32863415741281e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.32863415741281e-05×40589641000000     		ar = 918396.065016261m²