Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123617 / 24995
↖ ↑ ↗
← N 73.699635°
E159.524231°		 ← 85.71 m → N 73.699635°
E159.526977°		 →
↑
85.69 m
↓
↑
85.69 m
↓
N 73.698864°
E159.524231°		 ← 85.71 m →
7 344 m²		 N 73.698864°
E159.526977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943126678466797 y=0.190700531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943126678466797 × 217)
    floor (0.943126678466797 × 131072)
    floor (123617.5)     		tx = 123617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190700531005859 × 217)
    floor (0.190700531005859 × 131072)
    floor (24995.5)     		ty = 24995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123617 / 24995 ti = "17/123617/24995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123617/24995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123617 ÷ 217
    123617 ÷ 131072     		x = 0.943122863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24995 ÷ 217
    24995 ÷ 131072     		y = 0.190696716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943122863769531 × 2 - 1) × π
    0.886245727539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.78422307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190696716308594 × 2 - 1) × π
    0.618606567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.9434098474967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78422307} λ = 2.78422307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9434098474967))-π/2
    2×atan(6.98251975114291)-π/2
    2×1.42854880956355-π/2
    2.85709761912711-1.57079632675     		φ = 1.28630129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78422307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.524231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28630129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.699635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123617 KachelY 24995 2.78422307 1.28630129 159.524231 73.699635
    Oben rechts KachelX + 1 123618 KachelY 24995 2.78427100 1.28630129 159.526977 73.699635
    Unten links KachelX 123617 KachelY + 1 24996 2.78422307 1.28628784 159.524231 73.698864
    Unten rechts KachelX + 1 123618 KachelY + 1 24996 2.78427100 1.28628784 159.526977 73.698864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28630129-1.28628784) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dl = 85.6899499998116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28630129-1.28628784) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dr = 85.6899499998116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78422307-2.78427100) × cos(1.28630129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280672821646083 × 6371000     		do = 85.7068225837283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78422307-2.78427100) × cos(1.28628784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280685730977831 × 6371000     		du = 85.7107646034767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28630129)-sin(1.28628784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280672821646083-0.280685730977831)×R²
    abs(2.78427100-2.78422307)×1.29093317474682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29093317474682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29093317474682e-05×40589641000000     		ar = 7344.38223776327m²