Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123603 / 25275
↖ ↑ ↗
← N 73.482390°
E159.485779°		 ← 86.84 m → N 73.482390°
E159.488526°		 →
↑
86.84 m
↓
↑
86.84 m
↓
N 73.481609°
E159.485779°		 ← 86.84 m →
7 541 m²		 N 73.481609°
E159.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943019866943359 y=0.192836761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943019866943359 × 217)
    floor (0.943019866943359 × 131072)
    floor (123603.5)     		tx = 123603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192836761474609 × 217)
    floor (0.192836761474609 × 131072)
    floor (25275.5)     		ty = 25275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123603 / 25275 ti = "17/123603/25275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123603/25275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123603 ÷ 217
    123603 ÷ 131072     		x = 0.943016052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25275 ÷ 217
    25275 ÷ 131072     		y = 0.192832946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943016052246094 × 2 - 1) × π
    0.886032104492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.78355195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192832946777344 × 2 - 1) × π
    0.614334106445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.92998751560308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78355195} λ = 2.78355195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92998751560308))-π/2
    2×atan(6.88942423073776)-π/2
    2×1.42665298666003-π/2
    2.85330597332007-1.57079632675     		φ = 1.28250965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78355195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.485779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28250965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.482390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123603 KachelY 25275 2.78355195 1.28250965 159.485779 73.482390
    Oben rechts KachelX + 1 123604 KachelY 25275 2.78359989 1.28250965 159.488526 73.482390
    Unten links KachelX 123603 KachelY + 1 25276 2.78355195 1.28249602 159.485779 73.481609
    Unten rechts KachelX + 1 123604 KachelY + 1 25276 2.78359989 1.28249602 159.488526 73.481609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28250965-1.28249602) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dl = 86.8367299999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28250965-1.28249602) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dr = 86.8367299999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78355195-2.78359989) × cos(1.28250965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284310024737104 × 6371000     		do = 86.8355996946914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78355195-2.78359989) × cos(1.28249602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284323092233271 × 6371000     		du = 86.8395908443782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28250965)-sin(1.28249602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284310024737104-0.284323092233271)×R²
    abs(2.78359989-2.78355195)×1.30674961670851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30674961670851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30674961670851e-05×40589641000000     		ar = 7540.69281446259m²