Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 12360 / 36920
↖ ↑ ↗
← N 61.533170°
W146.052246°		 ← 145.55 m → N 61.533170°
W146.049500°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
N 61.531861°
W146.052246°		 ← 145.56 m →
21 189 m²		 N 61.531861°
W146.049500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0943031311035156 y=0.281681060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0943031311035156 × 217)
    floor (0.0943031311035156 × 131072)
    floor (12360.5)     		tx = 12360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281681060791016 × 217)
    floor (0.281681060791016 × 131072)
    floor (36920.5)     		ty = 36920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 12360 / 36920 ti = "17/12360/36920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/12360/36920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12360 ÷ 217
    12360 ÷ 131072     		x = 0.09429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36920 ÷ 217
    36920 ÷ 131072     		y = 0.28167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.8114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.54909257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28167724609375 × 2 - 1) × π
    0.4366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37176231952753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.54909257} λ = -2.54909257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37176231952753))-π/2
    2×atan(3.94229215558758)-π/2
    2×1.32237637102495-π/2
    2.64475274204991-1.57079632675     		φ = 1.07395642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.54909257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -146.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07395642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.533170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12360 KachelY 36920 -2.54909257 1.07395642 -146.052246 61.533170
    Oben rechts KachelX + 1 12361 KachelY 36920 -2.54904464 1.07395642 -146.049500 61.533170
    Unten links KachelX 12360 KachelY + 1 36921 -2.54909257 1.07393357 -146.052246 61.531861
    Unten rechts KachelX + 1 12361 KachelY + 1 36921 -2.54904464 1.07393357 -146.049500 61.531861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07395642-1.07393357) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dl = 145.577350000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07395642-1.07393357) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dr = 145.577350000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.54909257--2.54904464) × cos(1.07395642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476649906714098 × 6371000     		do = 145.550783113617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.54909257--2.54904464) × cos(1.07393357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476669993869439 × 6371000     		du = 145.556916968149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07395642)-sin(1.07393357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476649906714098-0.476669993869439)×R²
    abs(-2.54904464--2.54909257)×2.00871553413529e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00871553413529e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00871553413529e-05×40589641000000     		ar = 21189.3437724583m²