Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12360 / 13000
↖ ↑ ↗
← S 72.019729°
E 91.582031°		 ← 754.21 m → S 72.019729°
E 91.604004°		 →
↑
754.07 m
↓
↑
754.07 m
↓
S 72.026510°
E 91.582031°		 ← 753.94 m →
568 628 m²		 S 72.026510°
E 91.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754425048828125 y=0.793487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754425048828125 × 214)
    floor (0.754425048828125 × 16384)
    floor (12360.5)     		tx = 12360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793487548828125 × 214)
    floor (0.793487548828125 × 16384)
    floor (13000.5)     		ty = 13000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12360 / 13000 ti = "14/12360/13000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12360/13000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12360 ÷ 214
    12360 ÷ 16384     		x = 0.75439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13000 ÷ 214
    13000 ÷ 16384     		y = 0.79345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75439453125 × 2 - 1) × π
    0.5087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59840798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59840798} λ = 1.59840798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84384490698584))-π/2
    2×atan(0.158207960296312)-π/2
    2×0.156907466732096-π/2
    0.313814933464192-1.57079632675     		φ = -1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59840798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12360 KachelY 13000 1.59840798 -1.25698139 91.582031 -72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 12361 KachelY 13000 1.59879148 -1.25698139 91.604004 -72.019729
    Unten links KachelX 12360 KachelY + 1 13001 1.59840798 -1.25709975 91.582031 -72.026510
    Unten rechts KachelX + 1 12361 KachelY + 1 13001 1.59879148 -1.25709975 91.604004 -72.026510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25698139--1.25709975) × R
    0.000118360000000095 × 6371000     		dl = 754.071560000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25698139--1.25709975) × R
    0.000118360000000095 × 6371000     		dr = 754.071560000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59840798-1.59879148) × cos(-1.25698139) × R
    0.000383500000000092 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 754.214418862957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59840798-1.59879148) × cos(-1.25709975) × R
    0.000383500000000092 × 0.308576918339474 × 6371000     		du = 753.939350175274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25698139)-sin(-1.25709975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.308576918339474)×R²
    abs(1.59879148-1.59840798)×0.000112581798465849×R²
    0.000383500000000092×0.000112581798465849×6371000²
    0.000383500000000092×0.000112581798465849×40589641000000     		ar = 568627.933334439m²