Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123592 / 25303
↖ ↑ ↗
← N 73.460511°
E159.455566°		 ← 86.95 m → N 73.460511°
E159.458313°		 →
↑
86.96 m
↓
↑
86.96 m
↓
N 73.459729°
E159.455566°		 ← 86.95 m →
7 561 m²		 N 73.459729°
E159.458313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942935943603516 y=0.193050384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942935943603516 × 217)
    floor (0.942935943603516 × 131072)
    floor (123592.5)     		tx = 123592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193050384521484 × 217)
    floor (0.193050384521484 × 131072)
    floor (25303.5)     		ty = 25303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123592 / 25303 ti = "17/123592/25303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123592/25303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123592 ÷ 217
    123592 ÷ 131072     		x = 0.94293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25303 ÷ 217
    25303 ÷ 131072     		y = 0.193046569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94293212890625 × 2 - 1) × π
    0.8858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78302464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193046569824219 × 2 - 1) × π
    0.613906860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92864528241372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78302464} λ = 2.78302464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92864528241372))-π/2
    2×atan(6.88018322006266)-π/2
    2×1.42646205866602-π/2
    2.85292411733205-1.57079632675     		φ = 1.28212779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78302464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28212779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.460511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123592 KachelY 25303 2.78302464 1.28212779 159.455566 73.460511
    Oben rechts KachelX + 1 123593 KachelY 25303 2.78307258 1.28212779 159.458313 73.460511
    Unten links KachelX 123592 KachelY + 1 25304 2.78302464 1.28211414 159.455566 73.459729
    Unten rechts KachelX + 1 123593 KachelY + 1 25304 2.78307258 1.28211414 159.458313 73.459729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28212779-1.28211414) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dl = 86.9641500005556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28212779-1.28211414) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dr = 86.9641500005556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78302464-2.78307258) × cos(1.28212779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284676105552854 × 6371000     		do = 86.9474101987416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78302464-2.78307258) × cos(1.28211414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284689190740669 × 6371000     		du = 86.951406751913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28212779)-sin(1.28211414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284676105552854-0.284689190740669)×R²
    abs(2.78307258-2.78302464)×1.3085187814954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3085187814954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3085187814954e-05×40589641000000     		ar = 7561.48140117326m²