Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123591 / 25304
↖ ↑ ↗
← N 73.459729°
E159.452820°		 ← 86.93 m → N 73.459729°
E159.455566°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.458948°
E159.452820°		 ← 86.94 m →
7 555 m²		 N 73.458948°
E159.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942928314208984 y=0.193058013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942928314208984 × 217)
    floor (0.942928314208984 × 131072)
    floor (123591.5)     		tx = 123591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193058013916016 × 217)
    floor (0.193058013916016 × 131072)
    floor (25304.5)     		ty = 25304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123591 / 25304 ti = "17/123591/25304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123591/25304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123591 ÷ 217
    123591 ÷ 131072     		x = 0.942924499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25304 ÷ 217
    25304 ÷ 131072     		y = 0.19305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942924499511719 × 2 - 1) × π
    0.885848999023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.78297671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19305419921875 × 2 - 1) × π
    0.6138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9285973455141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78297671} λ = 2.78297671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9285973455141))-π/2
    2×atan(6.87985341331529)-π/2
    2×1.42645523526431-π/2
    2.85291047052862-1.57079632675     		φ = 1.28211414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78297671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.452820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28211414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.459729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123591 KachelY 25304 2.78297671 1.28211414 159.452820 73.459729
    Oben rechts KachelX + 1 123592 KachelY 25304 2.78302464 1.28211414 159.455566 73.459729
    Unten links KachelX 123591 KachelY + 1 25305 2.78297671 1.28210050 159.452820 73.458948
    Unten rechts KachelX + 1 123592 KachelY + 1 25305 2.78302464 1.28210050 159.455566 73.458948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28211414-1.28210050) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dl = 86.9004399995281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28211414-1.28210050) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dr = 86.9004399995281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78297671-2.78302464) × cos(1.28211414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.284689190740669 × 6371000     		do = 86.9332692036811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78297671-2.78302464) × cos(1.28210050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28470226628928 × 6371000     		du = 86.9372619797483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28211414)-sin(1.28210050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284689190740669-0.28470226628928)×R²
    abs(2.78302464-2.78297671)×1.30755486108525e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30755486108525e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30755486108525e-05×40589641000000     		ar = 7554.71283152814m²