Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123586 / 25302
↖ ↑ ↗
← N 73.461293°
E159.439087°		 ← 86.94 m → N 73.461293°
E159.441834°		 →
↑
86.96 m
↓
↑
86.96 m
↓
N 73.460511°
E159.439087°		 ← 86.95 m →
7 561 m²		 N 73.460511°
E159.441834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942890167236328 y=0.193042755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942890167236328 × 217)
    floor (0.942890167236328 × 131072)
    floor (123586.5)     		tx = 123586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193042755126953 × 217)
    floor (0.193042755126953 × 131072)
    floor (25302.5)     		ty = 25302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123586 / 25302 ti = "17/123586/25302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123586/25302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123586 ÷ 217
    123586 ÷ 131072     		x = 0.942886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25302 ÷ 217
    25302 ÷ 131072     		y = 0.193038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942886352539062 × 2 - 1) × π
    0.885772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78273702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193038940429688 × 2 - 1) × π
    0.613922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92869321931334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78273702} λ = 2.78273702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92869321931334))-π/2
    2×atan(6.88051304262032)-π/2
    2×1.42646888175419-π/2
    2.85293776350837-1.57079632675     		φ = 1.28214144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78273702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28214144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.461293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123586 KachelY 25302 2.78273702 1.28214144 159.439087 73.461293
    Oben rechts KachelX + 1 123587 KachelY 25302 2.78278496 1.28214144 159.441834 73.461293
    Unten links KachelX 123586 KachelY + 1 25303 2.78273702 1.28212779 159.439087 73.460511
    Unten rechts KachelX + 1 123587 KachelY + 1 25303 2.78278496 1.28212779 159.441834 73.460511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28214144-1.28212779) × R
    1.36499999998652e-05 × 6371000     		dl = 86.9641499991409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28214144-1.28212779) × R
    1.36499999998652e-05 × 6371000     		dr = 86.9641499991409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78273702-2.78278496) × cos(1.28214144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284663020311998 × 6371000     		do = 86.94341362937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78273702-2.78278496) × cos(1.28212779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284676105552854 × 6371000     		du = 86.9474101987416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28214144)-sin(1.28212779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284663020311998-0.284676105552854)×R²
    abs(2.78278496-2.78273702)×1.30852408562476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30852408562476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30852408562476e-05×40589641000000     		ar = 7561.13384350333m²