Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123586 / 25282
↖ ↑ ↗
← N 73.476923°
E159.439087°		 ← 86.86 m → N 73.476923°
E159.441834°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.476141°
E159.439087°		 ← 86.87 m →
7 549 m²		 N 73.476141°
E159.441834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942890167236328 y=0.192890167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942890167236328 × 217)
    floor (0.942890167236328 × 131072)
    floor (123586.5)     		tx = 123586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192890167236328 × 217)
    floor (0.192890167236328 × 131072)
    floor (25282.5)     		ty = 25282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123586 / 25282 ti = "17/123586/25282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123586/25282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123586 ÷ 217
    123586 ÷ 131072     		x = 0.942886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25282 ÷ 217
    25282 ÷ 131072     		y = 0.192886352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942886352539062 × 2 - 1) × π
    0.885772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78273702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192886352539062 × 2 - 1) × π
    0.614227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92965195730574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78273702} λ = 2.78273702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92965195730574))-π/2
    2×atan(6.88711281510227)-π/2
    2×1.42660527769181-π/2
    2.85321055538362-1.57079632675     		φ = 1.28241423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78273702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28241423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.476923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123586 KachelY 25282 2.78273702 1.28241423 159.439087 73.476923
    Oben rechts KachelX + 1 123587 KachelY 25282 2.78278496 1.28241423 159.441834 73.476923
    Unten links KachelX 123586 KachelY + 1 25283 2.78273702 1.28240059 159.439087 73.476141
    Unten rechts KachelX + 1 123587 KachelY + 1 25283 2.78278496 1.28240059 159.441834 73.476141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28241423-1.28240059) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dl = 86.9004400009428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28241423-1.28240059) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dr = 86.9004400009428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78273702-2.78278496) × cos(1.28241423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284401505688008 × 6371000     		do = 86.863540331817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78273702-2.78278496) × cos(1.28240059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284414582401354 × 6371000     		du = 86.8675342966677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28241423)-sin(1.28240059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284401505688008-0.284414582401354)×R²
    abs(2.78278496-2.78273702)×1.30767133467158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30767133467158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30767133467158e-05×40589641000000     		ar = 7548.65341365749m²