Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123582 / 25280
↖ ↑ ↗
← N 73.478485°
E159.428101°		 ← 86.84 m → N 73.478485°
E159.430847°		 →
↑
86.84 m
↓
↑
86.84 m
↓
N 73.477704°
E159.428101°		 ← 86.84 m →
7 541 m²		 N 73.477704°
E159.430847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942859649658203 y=0.192874908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942859649658203 × 217)
    floor (0.942859649658203 × 131072)
    floor (123582.5)     		tx = 123582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192874908447266 × 217)
    floor (0.192874908447266 × 131072)
    floor (25280.5)     		ty = 25280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123582 / 25280 ti = "17/123582/25280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123582/25280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123582 ÷ 217
    123582 ÷ 131072     		x = 0.942855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25280 ÷ 217
    25280 ÷ 131072     		y = 0.19287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942855834960938 × 2 - 1) × π
    0.885711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78254528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19287109375 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92974783110498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78254528} λ = 2.78254528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92974783110498))-π/2
    2×atan(6.88777314042709)-π/2
    2×1.42661891039177-π/2
    2.85323782078354-1.57079632675     		φ = 1.28244149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78254528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.428101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28244149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.478485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123582 KachelY 25280 2.78254528 1.28244149 159.428101 73.478485
    Oben rechts KachelX + 1 123583 KachelY 25280 2.78259321 1.28244149 159.430847 73.478485
    Unten links KachelX 123582 KachelY + 1 25281 2.78254528 1.28242786 159.428101 73.477704
    Unten rechts KachelX + 1 123583 KachelY + 1 25281 2.78259321 1.28242786 159.430847 73.477704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28244149-1.28242786) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dl = 86.8367299999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28244149-1.28242786) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dr = 86.8367299999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78254528-2.78259321) × cos(1.28244149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.284375371276839 × 6371000     		do = 86.8374406551524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78254528-2.78259321) × cos(1.28242786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28438843850884 × 6371000     		du = 86.8414308916426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28244149)-sin(1.28242786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284375371276839-0.28438843850884)×R²
    abs(2.78259321-2.78254528)×1.30672320007297e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30672320007297e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30672320007297e-05×40589641000000     		ar = 7540.85263779999m²