Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123580 / 25288
↖ ↑ ↗
← N 73.472236°
E159.422607°		 ← 86.89 m → N 73.472236°
E159.425354°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.471454°
E159.422607°		 ← 86.89 m →
7 551 m²		 N 73.471454°
E159.425354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942844390869141 y=0.192935943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942844390869141 × 217)
    floor (0.942844390869141 × 131072)
    floor (123580.5)     		tx = 123580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192935943603516 × 217)
    floor (0.192935943603516 × 131072)
    floor (25288.5)     		ty = 25288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123580 / 25288 ti = "17/123580/25288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123580/25288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123580 ÷ 217
    123580 ÷ 131072     		x = 0.942840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25288 ÷ 217
    25288 ÷ 131072     		y = 0.19293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942840576171875 × 2 - 1) × π
    0.88568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78244940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19293212890625 × 2 - 1) × π
    0.6141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92936433590802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78244940} λ = 2.78244940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92936433590802))-π/2
    2×atan(6.88513221893271)-π/2
    2×1.42656437207289-π/2
    2.85312874414577-1.57079632675     		φ = 1.28233242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78244940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28233242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.472236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123580 KachelY 25288 2.78244940 1.28233242 159.422607 73.472236
    Oben rechts KachelX + 1 123581 KachelY 25288 2.78249734 1.28233242 159.425354 73.472236
    Unten links KachelX 123580 KachelY + 1 25289 2.78244940 1.28231878 159.422607 73.471454
    Unten rechts KachelX + 1 123581 KachelY + 1 25289 2.78249734 1.28231878 159.425354 73.471454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28233242-1.28231878) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dl = 86.9004399995281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28233242-1.28231878) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dr = 86.9004399995281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78244940-2.78249734) × cos(1.28233242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284479936413851 × 6371000     		do = 86.8874950942963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78244940-2.78249734) × cos(1.28231878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284493012809786 × 6371000     		du = 86.8914889622013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28233242)-sin(1.28231878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284479936413851-0.284493012809786)×R²
    abs(2.78249734-2.78244940)×1.30763959351188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30763959351188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30763959351188e-05×40589641000000     		ar = 7550.73508881586m²