Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123579 / 25276
↖ ↑ ↗
← N 73.481609°
E159.419861°		 ← 86.84 m → N 73.481609°
E159.422607°		 →
↑
86.84 m
↓
↑
86.84 m
↓
N 73.480828°
E159.419861°		 ← 86.84 m →
7 541 m²		 N 73.480828°
E159.422607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942836761474609 y=0.192844390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942836761474609 × 217)
    floor (0.942836761474609 × 131072)
    floor (123579.5)     		tx = 123579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192844390869141 × 217)
    floor (0.192844390869141 × 131072)
    floor (25276.5)     		ty = 25276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123579 / 25276 ti = "17/123579/25276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123579/25276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123579 ÷ 217
    123579 ÷ 131072     		x = 0.942832946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25276 ÷ 217
    25276 ÷ 131072     		y = 0.192840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942832946777344 × 2 - 1) × π
    0.885665893554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.78240146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192840576171875 × 2 - 1) × π
    0.61431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92993957870346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78240146} λ = 2.78240146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92993957870346))-π/2
    2×atan(6.8890939810156)-π/2
    2×1.4266461720328-π/2
    2.8532923440656-1.57079632675     		φ = 1.28249602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78240146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.419861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28249602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.481609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123579 KachelY 25276 2.78240146 1.28249602 159.419861 73.481609
    Oben rechts KachelX + 1 123580 KachelY 25276 2.78244940 1.28249602 159.422607 73.481609
    Unten links KachelX 123579 KachelY + 1 25277 2.78240146 1.28248239 159.419861 73.480828
    Unten rechts KachelX + 1 123580 KachelY + 1 25277 2.78244940 1.28248239 159.422607 73.480828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28249602-1.28248239) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dl = 86.8367299999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28249602-1.28248239) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dr = 86.8367299999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78240146-2.78244940) × cos(1.28249602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284323092233271 × 6371000     		do = 86.8395908443782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78240146-2.78244940) × cos(1.28248239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284336159676618 × 6371000     		du = 86.8435819779322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28249602)-sin(1.28248239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284323092233271-0.284336159676618)×R²
    abs(2.78244940-2.78240146)×1.30674433464484e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30674433464484e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30674433464484e-05×40589641000000     		ar = 7541.03939198319m²